Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38344 / 30792
↖ ↑ ↗
← N 10.790141°
E 30.629883°		 ← 600.05 m → N 10.790141°
E 30.635376°		 →
↑
600.02 m
↓
↑
600.02 m
↓
N 10.784744°
E 30.629883°		 ← 600.06 m →
360 046 m²		 N 10.784744°
E 30.635376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585090637207031 y=0.469856262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585090637207031 × 216)
    floor (0.585090637207031 × 65536)
    floor (38344.5)     		tx = 38344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469856262207031 × 216)
    floor (0.469856262207031 × 65536)
    floor (30792.5)     		ty = 30792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38344 / 30792 ti = "16/38344/30792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38344/30792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38344 ÷ 216
    38344 ÷ 65536     		x = 0.5850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30792 ÷ 216
    30792 ÷ 65536     		y = 0.4698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5850830078125 × 2 - 1) × π
    0.170166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53459230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4698486328125 × 2 - 1) × π
    0.060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.189446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53459230} λ = 0.53459230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189446627298462))-π/2
    2×atan(1.20858061705543)-π/2
    2×0.879559904818152-π/2
    1.7591198096363-1.57079632675     		φ = 0.18832348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53459230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18832348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.790141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38344 KachelY 30792 0.53459230 0.18832348 30.629883 10.790141
    Oben rechts KachelX + 1 38345 KachelY 30792 0.53468818 0.18832348 30.635376 10.790141
    Unten links KachelX 38344 KachelY + 1 30793 0.53459230 0.18822930 30.629883 10.784744
    Unten rechts KachelX + 1 38345 KachelY + 1 30793 0.53468818 0.18822930 30.635376 10.784744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18832348-0.18822930) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dl = 600.020779999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18832348-0.18822930) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dr = 600.020779999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53459230-0.53468818) × cos(0.18832348) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.982319480614742 × 6371000     		do = 600.051308565953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53459230-0.53468818) × cos(0.18822930) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.982337107910778 × 6371000     		du = 600.062076225825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18832348)-sin(0.18822930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982319480614742-0.982337107910778)×R²
    abs(0.53468818-0.53459230)×1.7627296035938e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.7627296035938e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.7627296035938e-05×40589641000000     		ar = 360046.484881698m²