Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38343 / 30791
↖ ↑ ↗
← N 10.795537°
E 30.624390°		 ← 599.98 m → N 10.795537°
E 30.629883°		 →
↑
600.02 m
↓
↑
600.02 m
↓
N 10.790141°
E 30.624390°		 ← 599.99 m →
360 002 m²		 N 10.790141°
E 30.629883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585075378417969 y=0.469841003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585075378417969 × 216)
    floor (0.585075378417969 × 65536)
    floor (38343.5)     		tx = 38343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469841003417969 × 216)
    floor (0.469841003417969 × 65536)
    floor (30791.5)     		ty = 30791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38343 / 30791 ti = "16/38343/30791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38343/30791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38343 ÷ 216
    38343 ÷ 65536     		x = 0.585067749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30791 ÷ 216
    30791 ÷ 65536     		y = 0.469833374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585067749023438 × 2 - 1) × π
    0.170135498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53449643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469833374023438 × 2 - 1) × π
    0.060333251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.189542501097702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53449643} λ = 0.53449643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189542501097702))-π/2
    2×atan(1.20869649382556)-π/2
    2×0.879606993745799-π/2
    1.7592139874916-1.57079632675     		φ = 0.18841766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53449643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.624390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18841766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.795537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38343 KachelY 30791 0.53449643 0.18841766 30.624390 10.795537
    Oben rechts KachelX + 1 38344 KachelY 30791 0.53459230 0.18841766 30.629883 10.795537
    Unten links KachelX 38343 KachelY + 1 30792 0.53449643 0.18832348 30.624390 10.790141
    Unten rechts KachelX + 1 38344 KachelY + 1 30792 0.53459230 0.18832348 30.629883 10.790141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18841766-0.18832348) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dl = 600.020779999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18841766-0.18832348) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dr = 600.020779999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53449643-0.53459230) × cos(0.18841766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982301844605658 × 6371000     		do = 599.977953133563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53449643-0.53459230) × cos(0.18832348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982319480614742 × 6371000     		du = 599.988724992223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18841766)-sin(0.18832348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982301844605658-0.982319480614742)×R²
    abs(0.53459230-0.53449643)×1.76360090843319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76360090843319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76360090843319e-05×40589641000000     		ar = 360002.471357616m²