Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38335 / 30783
↖ ↑ ↗
← N 10.838701°
E 30.580444°		 ← 599.89 m → N 10.838701°
E 30.585937°		 →
↑
599.89 m
↓
↑
599.89 m
↓
N 10.833306°
E 30.580444°		 ← 599.90 m →
359 874 m²		 N 10.833306°
E 30.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584953308105469 y=0.469718933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584953308105469 × 216)
    floor (0.584953308105469 × 65536)
    floor (38335.5)     		tx = 38335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469718933105469 × 216)
    floor (0.469718933105469 × 65536)
    floor (30783.5)     		ty = 30783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38335 / 30783 ti = "16/38335/30783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38335/30783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38335 ÷ 216
    38335 ÷ 65536     		x = 0.584945678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30783 ÷ 216
    30783 ÷ 65536     		y = 0.469711303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584945678710938 × 2 - 1) × π
    0.169891357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53372944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469711303710938 × 2 - 1) × π
    0.060577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.190309491491623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53372944} λ = 0.53372944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190309491491623))-π/2
    2×atan(1.20962390803893)-π/2
    2×0.879983674691661-π/2
    1.75996734938332-1.57079632675     		φ = 0.18917102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53372944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.580444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18917102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.838701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38335 KachelY 30783 0.53372944 0.18917102 30.580444 10.838701
    Oben rechts KachelX + 1 38336 KachelY 30783 0.53382531 0.18917102 30.585937 10.838701
    Unten links KachelX 38335 KachelY + 1 30784 0.53372944 0.18907686 30.580444 10.833306
    Unten rechts KachelX + 1 38336 KachelY + 1 30784 0.53382531 0.18907686 30.585937 10.833306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18917102-0.18907686) × R
    9.4159999999982e-05 × 6371000     		dl = 599.893359999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18917102-0.18907686) × R
    9.4159999999982e-05 × 6371000     		dr = 599.893359999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53372944-0.53382531) × cos(0.18917102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982160457925611 × 6371000     		do = 599.89159587855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53372944-0.53382531) × cos(0.18907686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982178159866999 × 6371000     		du = 599.902408007855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18917102)-sin(0.18907686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982160457925611-0.982178159866999)×R²
    abs(0.53382531-0.53372944)×1.77019413883928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77019413883928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77019413883928e-05×40589641000000     		ar = 359874.228415526m²