Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38334 / 29758
↖ ↑ ↗
← N 16.309595°
E 30.574951°		 ← 586.21 m → N 16.309595°
E 30.580444°		 →
↑
586.26 m
↓
↑
586.26 m
↓
N 16.304323°
E 30.574951°		 ← 586.22 m →
343 675 m²		 N 16.304323°
E 30.580444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584938049316406 y=0.454078674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584938049316406 × 216)
    floor (0.584938049316406 × 65536)
    floor (38334.5)     		tx = 38334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454078674316406 × 216)
    floor (0.454078674316406 × 65536)
    floor (29758.5)     		ty = 29758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38334 / 29758 ti = "16/38334/29758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38334/29758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38334 ÷ 216
    38334 ÷ 65536     		x = 0.584930419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29758 ÷ 216
    29758 ÷ 65536     		y = 0.454071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584930419921875 × 2 - 1) × π
    0.16986083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53363357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454071044921875 × 2 - 1) × π
    0.09185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.288580135712738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53363357} λ = 0.53363357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288580135712738))-π/2
    2×atan(1.33453128885402)-π/2
    2×0.927726234120045-π/2
    1.85545246824009-1.57079632675     		φ = 0.28465614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53363357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.574951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28465614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.309595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38334 KachelY 29758 0.53363357 0.28465614 30.574951 16.309595
    Oben rechts KachelX + 1 38335 KachelY 29758 0.53372944 0.28465614 30.580444 16.309595
    Unten links KachelX 38334 KachelY + 1 29759 0.53363357 0.28456412 30.574951 16.304323
    Unten rechts KachelX + 1 38335 KachelY + 1 29759 0.53372944 0.28456412 30.580444 16.304323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28465614-0.28456412) × R
    9.2020000000026e-05 × 6371000     		dl = 586.259420000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28465614-0.28456412) × R
    9.2020000000026e-05 × 6371000     		dr = 586.259420000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53363357-0.53372944) × cos(0.28465614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959758274721646 × 6371000     		do = 586.208616356269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53363357-0.53372944) × cos(0.28456412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959784112399674 × 6371000     		du = 586.224397694014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28465614)-sin(0.28456412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959758274721646-0.959784112399674)×R²
    abs(0.53372944-0.53363357)×2.58376780283287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.58376780283287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.58376780283287e-05×40589641000000     		ar = 343674.94964542m²