Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38333 / 29214
↖ ↑ ↗
← N 19.155547°
E 30.569458°		 ← 577.03 m → N 19.155547°
E 30.574951°		 →
↑
577.02 m
↓
↑
577.02 m
↓
N 19.150357°
E 30.569458°		 ← 577.05 m →
332 964 m²		 N 19.150357°
E 30.574951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584922790527344 y=0.445777893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584922790527344 × 216)
    floor (0.584922790527344 × 65536)
    floor (38333.5)     		tx = 38333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445777893066406 × 216)
    floor (0.445777893066406 × 65536)
    floor (29214.5)     		ty = 29214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38333 / 29214 ti = "16/38333/29214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38333/29214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38333 ÷ 216
    38333 ÷ 65536     		x = 0.584915161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29214 ÷ 216
    29214 ÷ 65536     		y = 0.445770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584915161132812 × 2 - 1) × π
    0.169830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53353769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    0.10845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.340735482499359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53353769} λ = 0.53353769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340735482499359))-π/2
    2×atan(1.40598128501446)-π/2
    2×0.952561842063368-π/2
    1.90512368412674-1.57079632675     		φ = 0.33432736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53353769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.569458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33432736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.155547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38333 KachelY 29214 0.53353769 0.33432736 30.569458 19.155547
    Oben rechts KachelX + 1 38334 KachelY 29214 0.53363357 0.33432736 30.574951 19.155547
    Unten links KachelX 38333 KachelY + 1 29215 0.53353769 0.33423679 30.569458 19.150357
    Unten rechts KachelX + 1 38334 KachelY + 1 29215 0.53363357 0.33423679 30.574951 19.150357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33432736-0.33423679) × R
    9.0570000000012e-05 × 6371000     		dl = 577.021470000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33432736-0.33423679) × R
    9.0570000000012e-05 × 6371000     		dr = 577.021470000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53353769-0.53363357) × cos(0.33432736) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.944631239263741 × 6371000     		do = 577.02939055878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53353769-0.53363357) × cos(0.33423679) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.94466095447189 × 6371000     		du = 577.047542137656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33432736)-sin(0.33423679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944631239263741-0.94466095447189)×R²
    abs(0.53363357-0.53353769)×2.97152081485397e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.97152081485397e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.97152081485397e-05×40589641000000     		ar = 332963.584326327m²