Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38329 / 29220
↖ ↑ ↗
← N 19.124409°
E 30.547485°		 ← 577.08 m → N 19.124409°
E 30.552978°		 →
↑
577.09 m
↓
↑
577.09 m
↓
N 19.119219°
E 30.547485°		 ← 577.10 m →
333 028 m²		 N 19.119219°
E 30.552978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584861755371094 y=0.445869445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584861755371094 × 216)
    floor (0.584861755371094 × 65536)
    floor (38329.5)     		tx = 38329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445869445800781 × 216)
    floor (0.445869445800781 × 65536)
    floor (29220.5)     		ty = 29220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38329 / 29220 ti = "16/38329/29220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38329/29220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38329 ÷ 216
    38329 ÷ 65536     		x = 0.584854125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29220 ÷ 216
    29220 ÷ 65536     		y = 0.44586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584854125976562 × 2 - 1) × π
    0.169708251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53315420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    0.1082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.340160239703918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53315420} λ = 0.53315420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340160239703918))-π/2
    2×atan(1.40517273698774)-π/2
    2×0.952290120275283-π/2
    1.90458024055057-1.57079632675     		φ = 0.33378391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53315420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.547485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33378391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.124409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38329 KachelY 29220 0.53315420 0.33378391 30.547485 19.124409
    Oben rechts KachelX + 1 38330 KachelY 29220 0.53325007 0.33378391 30.552978 19.124409
    Unten links KachelX 38329 KachelY + 1 29221 0.53315420 0.33369333 30.547485 19.119219
    Unten rechts KachelX + 1 38330 KachelY + 1 29221 0.53325007 0.33369333 30.552978 19.119219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33378391-0.33369333) × R
    9.05800000000068e-05 × 6371000     		dl = 577.085180000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33378391-0.33369333) × R
    9.05800000000068e-05 × 6371000     		dr = 577.085180000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53315420-0.53325007) × cos(0.33378391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94480942410163 × 6371000     		do = 577.078041222006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53315420-0.53325007) × cos(0.33369333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944839096085009 × 6371000     		du = 577.096164506566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33378391)-sin(0.33369333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94480942410163-0.944839096085009)×R²
    abs(0.53325007-0.53315420)×2.96719833786652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96719833786652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96719833786652e-05×40589641000000     		ar = 333028.414859777m²