Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38328 / 29224
↖ ↑ ↗
← N 19.103648°
E 30.541992°		 ← 577.21 m → N 19.103648°
E 30.547485°		 →
↑
577.15 m
↓
↑
577.15 m
↓
N 19.098458°
E 30.541992°		 ← 577.23 m →
333 142 m²		 N 19.098458°
E 30.547485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584846496582031 y=0.445930480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584846496582031 × 216)
    floor (0.584846496582031 × 65536)
    floor (38328.5)     		tx = 38328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445930480957031 × 216)
    floor (0.445930480957031 × 65536)
    floor (29224.5)     		ty = 29224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38328 / 29224 ti = "16/38328/29224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38328/29224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38328 ÷ 216
    38328 ÷ 65536     		x = 0.5848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29224 ÷ 216
    29224 ÷ 65536     		y = 0.4459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5848388671875 × 2 - 1) × π
    0.169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53305832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    0.108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.339776744506958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53305832} λ = 0.53305832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339776744506958))-π/2
    2×atan(1.40463396330737)-π/2
    2×0.952108943960054-π/2
    1.90421788792011-1.57079632675     		φ = 0.33342156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53305832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33342156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.103648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38328 KachelY 29224 0.53305832 0.33342156 30.541992 19.103648
    Oben rechts KachelX + 1 38329 KachelY 29224 0.53315420 0.33342156 30.547485 19.103648
    Unten links KachelX 38328 KachelY + 1 29225 0.53305832 0.33333097 30.541992 19.098458
    Unten rechts KachelX + 1 38329 KachelY + 1 29225 0.53315420 0.33333097 30.547485 19.098458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33342156-0.33333097) × R
    9.05900000000015e-05 × 6371000     		dl = 577.14889000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33342156-0.33333097) × R
    9.05900000000015e-05 × 6371000     		dr = 577.14889000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53305832-0.53315420) × cos(0.33342156) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.944928075339579 × 6371000     		do = 577.210713315024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53305832-0.53315420) × cos(0.33333097) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.944957719582232 × 6371000     		du = 577.228821544521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33342156)-sin(0.33333097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944928075339579-0.944957719582232)×R²
    abs(0.53315420-0.53305832)×2.96442426527266e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.96442426527266e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.96442426527266e-05×40589641000000     		ar = 333141.748285899m²