Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38324 / 29748
↖ ↑ ↗
← N 16.362309°
E 30.520020°		 ← 586.05 m → N 16.362309°
E 30.525513°		 →
↑
586.07 m
↓
↑
586.07 m
↓
N 16.357039°
E 30.520020°		 ← 586.07 m →
343 470 m²		 N 16.357039°
E 30.525513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584785461425781 y=0.453926086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584785461425781 × 216)
    floor (0.584785461425781 × 65536)
    floor (38324.5)     		tx = 38324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453926086425781 × 216)
    floor (0.453926086425781 × 65536)
    floor (29748.5)     		ty = 29748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38324 / 29748 ti = "16/38324/29748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38324/29748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38324 ÷ 216
    38324 ÷ 65536     		x = 0.58477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29748 ÷ 216
    29748 ÷ 65536     		y = 0.45391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58477783203125 × 2 - 1) × π
    0.1695556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53267483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45391845703125 × 2 - 1) × π
    0.0921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.289538873705139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53267483} λ = 0.53267483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289538873705139))-π/2
    2×atan(1.335811368235)-π/2
    2×0.92818625048552-π/2
    1.85637250097104-1.57079632675     		φ = 0.28557617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53267483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.520020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28557617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.362309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38324 KachelY 29748 0.53267483 0.28557617 30.520020 16.362309
    Oben rechts KachelX + 1 38325 KachelY 29748 0.53277070 0.28557617 30.525513 16.362309
    Unten links KachelX 38324 KachelY + 1 29749 0.53267483 0.28548418 30.520020 16.357039
    Unten rechts KachelX + 1 38325 KachelY + 1 29749 0.53277070 0.28548418 30.525513 16.357039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28557617-0.28548418) × R
    9.19900000000418e-05 × 6371000     		dl = 586.068290000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28557617-0.28548418) × R
    9.19900000000418e-05 × 6371000     		dr = 586.068290000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53267483-0.53277070) × cos(0.28557617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959499498887319 × 6371000     		do = 586.050559241491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53267483-0.53277070) × cos(0.28548418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959525409361083 × 6371000     		du = 586.06638504198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28557617)-sin(0.28548418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959499498887319-0.959525409361083)×R²
    abs(0.53277070-0.53267483)×2.59104737632132e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59104737632132e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59104737632132e-05×40589641000000     		ar = 343470.286850491m²