Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38323 / 29746
↖ ↑ ↗
← N 16.372851°
E 30.514526°		 ← 586.08 m → N 16.372851°
E 30.520020°		 →
↑
586.07 m
↓
↑
586.07 m
↓
N 16.367580°
E 30.514526°		 ← 586.10 m →
343 488 m²		 N 16.367580°
E 30.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584770202636719 y=0.453895568847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584770202636719 × 216)
    floor (0.584770202636719 × 65536)
    floor (38323.5)     		tx = 38323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453895568847656 × 216)
    floor (0.453895568847656 × 65536)
    floor (29746.5)     		ty = 29746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38323 / 29746 ti = "16/38323/29746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38323/29746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38323 ÷ 216
    38323 ÷ 65536     		x = 0.584762573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29746 ÷ 216
    29746 ÷ 65536     		y = 0.453887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584762573242188 × 2 - 1) × π
    0.169525146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53257895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453887939453125 × 2 - 1) × π
    0.09222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.289730621303619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53257895} λ = 0.53257895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289730621303619))-π/2
    2×atan(1.33606753141544)-π/2
    2×0.928278238862712-π/2
    1.85655647772542-1.57079632675     		φ = 0.28576015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53257895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.514526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28576015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.372851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38323 KachelY 29746 0.53257895 0.28576015 30.514526 16.372851
    Oben rechts KachelX + 1 38324 KachelY 29746 0.53267483 0.28576015 30.520020 16.372851
    Unten links KachelX 38323 KachelY + 1 29747 0.53257895 0.28566816 30.514526 16.367580
    Unten rechts KachelX + 1 38324 KachelY + 1 29747 0.53267483 0.28566816 30.520020 16.367580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28576015-0.28566816) × R
    9.19899999999862e-05 × 6371000     		dl = 586.068289999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28576015-0.28566816) × R
    9.19899999999862e-05 × 6371000     		dr = 586.068289999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53257895-0.53267483) × cos(0.28576015) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.959447653581697 × 6371000     		do = 586.080019173201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53257895-0.53267483) × cos(0.28566816) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.959473580294118 × 6371000     		du = 586.095856543855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28576015)-sin(0.28566816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959447653581697-0.959473580294118)×R²
    abs(0.53267483-0.53257895)×2.59267124206319e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.59267124206319e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.59267124206319e-05×40589641000000     		ar = 343487.555772585m²