Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38322 / 29750
↖ ↑ ↗
← N 16.351768°
E 30.509033°		 ← 586.08 m → N 16.351768°
E 30.514526°		 →
↑
586.13 m
↓
↑
586.13 m
↓
N 16.346497°
E 30.509033°		 ← 586.10 m →
343 526 m²		 N 16.346497°
E 30.514526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584754943847656 y=0.453956604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584754943847656 × 216)
    floor (0.584754943847656 × 65536)
    floor (38322.5)     		tx = 38322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453956604003906 × 216)
    floor (0.453956604003906 × 65536)
    floor (29750.5)     		ty = 29750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38322 / 29750 ti = "16/38322/29750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38322/29750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38322 ÷ 216
    38322 ÷ 65536     		x = 0.584747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29750 ÷ 216
    29750 ÷ 65536     		y = 0.453948974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584747314453125 × 2 - 1) × π
    0.16949462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53248308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453948974609375 × 2 - 1) × π
    0.09210205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.289347126106659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53248308} λ = 0.53248308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289347126106659))-π/2
    2×atan(1.33555525416854)-π/2
    2×0.928094257139232-π/2
    1.85618851427846-1.57079632675     		φ = 0.28539219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53248308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.509033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28539219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.351768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38322 KachelY 29750 0.53248308 0.28539219 30.509033 16.351768
    Oben rechts KachelX + 1 38323 KachelY 29750 0.53257895 0.28539219 30.514526 16.351768
    Unten links KachelX 38322 KachelY + 1 29751 0.53248308 0.28530019 30.509033 16.346497
    Unten rechts KachelX + 1 38323 KachelY + 1 29751 0.53257895 0.28530019 30.514526 16.346497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28539219-0.28530019) × R
    9.1999999999981e-05 × 6371000     		dl = 586.131999999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28539219-0.28530019) × R
    9.1999999999981e-05 × 6371000     		dr = 586.131999999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53248308-0.53257895) × cos(0.28539219) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959551311715188 × 6371000     		do = 586.082205883082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53248308-0.53257895) × cos(0.28530019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959577208763872 × 6371000     		du = 586.098023483697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28539219)-sin(0.28530019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959551311715188-0.959577208763872)×R²
    abs(0.53257895-0.53248308)×2.58970486840537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.58970486840537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.58970486840537e-05×40589641000000     		ar = 343526.171341791m²