Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38322 / 29745
↖ ↑ ↗
← N 16.378121°
E 30.509033°		 ← 586 m → N 16.378121°
E 30.514526°		 →
↑
586.07 m
↓
↑
586.07 m
↓
N 16.372851°
E 30.509033°		 ← 586.02 m →
343 442 m²		 N 16.372851°
E 30.514526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584754943847656 y=0.453880310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584754943847656 × 216)
    floor (0.584754943847656 × 65536)
    floor (38322.5)     		tx = 38322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453880310058594 × 216)
    floor (0.453880310058594 × 65536)
    floor (29745.5)     		ty = 29745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38322 / 29745 ti = "16/38322/29745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38322/29745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38322 ÷ 216
    38322 ÷ 65536     		x = 0.584747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29745 ÷ 216
    29745 ÷ 65536     		y = 0.453872680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584747314453125 × 2 - 1) × π
    0.16949462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53248308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453872680664062 × 2 - 1) × π
    0.092254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.28982649510286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53248308} λ = 0.53248308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.28982649510286))-π/2
    2×atan(1.33619563142634)-π/2
    2×0.928324231187008-π/2
    1.85664846237402-1.57079632675     		φ = 0.28585214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53248308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.509033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28585214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.378121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38322 KachelY 29745 0.53248308 0.28585214 30.509033 16.378121
    Oben rechts KachelX + 1 38323 KachelY 29745 0.53257895 0.28585214 30.514526 16.378121
    Unten links KachelX 38322 KachelY + 1 29746 0.53248308 0.28576015 30.509033 16.372851
    Unten rechts KachelX + 1 38323 KachelY + 1 29746 0.53257895 0.28576015 30.514526 16.372851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28585214-0.28576015) × R
    9.19899999999862e-05 × 6371000     		dl = 586.068289999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28585214-0.28576015) × R
    9.19899999999862e-05 × 6371000     		dr = 586.068289999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53248308-0.53257895) × cos(0.28585214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959421718750277 × 6371000     		do = 586.003052085036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53248308-0.53257895) × cos(0.28576015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959447653581697 × 6371000     		du = 586.018892762885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28585214)-sin(0.28576015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959421718750277-0.959447653581697)×R²
    abs(0.53257895-0.53248308)×2.59348314203267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59348314203267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59348314203267e-05×40589641000000     		ar = 343442.448771838m²