Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38312 / 29606
↖ ↑ ↗
← N 17.109293°
E 30.454101°		 ← 583.82 m → N 17.109293°
E 30.459595°		 →
↑
583.77 m
↓
↑
583.77 m
↓
N 17.104043°
E 30.454101°		 ← 583.83 m →
340 823 m²		 N 17.104043°
E 30.459595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584602355957031 y=0.451759338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584602355957031 × 216)
    floor (0.584602355957031 × 65536)
    floor (38312.5)     		tx = 38312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451759338378906 × 216)
    floor (0.451759338378906 × 65536)
    floor (29606.5)     		ty = 29606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38312 / 29606 ti = "16/38312/29606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38312/29606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38312 ÷ 216
    38312 ÷ 65536     		x = 0.5845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29606 ÷ 216
    29606 ÷ 65536     		y = 0.451751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5845947265625 × 2 - 1) × π
    0.169189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53152434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451751708984375 × 2 - 1) × π
    0.09649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.303152953197235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53152434} λ = 0.53152434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303152953197235))-π/2
    2×atan(1.35412156582641)-π/2
    2×0.934704908242543-π/2
    1.86940981648509-1.57079632675     		φ = 0.29861349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53152434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.454101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29861349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.109293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38312 KachelY 29606 0.53152434 0.29861349 30.454101 17.109293
    Oben rechts KachelX + 1 38313 KachelY 29606 0.53162022 0.29861349 30.459595 17.109293
    Unten links KachelX 38312 KachelY + 1 29607 0.53152434 0.29852186 30.454101 17.104043
    Unten rechts KachelX + 1 38313 KachelY + 1 29607 0.53162022 0.29852186 30.459595 17.104043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29861349-0.29852186) × R
    9.16299999999537e-05 × 6371000     		dl = 583.774729999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29861349-0.29852186) × R
    9.16299999999537e-05 × 6371000     		dr = 583.774729999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53152434-0.53162022) × cos(0.29861349) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.955745312442009 × 6371000     		do = 583.818438607881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53152434-0.53162022) × cos(0.29852186) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.955772265548677 × 6371000     		du = 583.83490295298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29861349)-sin(0.29852186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955745312442009-0.955772265548677)×R²
    abs(0.53162022-0.53152434)×2.69531066686701e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.69531066686701e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.69531066686701e-05×40589641000000     		ar = 340823.25734003m²