Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3831 / 838
↖ ↑ ↗
← N 72.235514°
E156.708984°		 ← 2 981.81 m → N 72.235514°
E156.796875°		 →
↑
2 983.99 m
↓
↑
2 983.99 m
↓
N 72.208678°
E156.708984°		 ← 2 986.17 m →
8 904 173 m²		 N 72.208678°
E156.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9354248046875 y=0.2047119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9354248046875 × 212)
    floor (0.9354248046875 × 4096)
    floor (3831.5)     		tx = 3831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2047119140625 × 212)
    floor (0.2047119140625 × 4096)
    floor (838.5)     		ty = 838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3831 / 838 ti = "12/3831/838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3831/838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3831 ÷ 212
    3831 ÷ 4096     		x = 0.935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 838 ÷ 212
    838 ÷ 4096     		y = 0.20458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935302734375 × 2 - 1) × π
    0.87060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73508774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20458984375 × 2 - 1) × π
    0.5908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85611675328857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73508774} λ = 2.73508774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85611675328857))-π/2
    2×atan(6.39884018781053)-π/2
    2×1.41577193907977-π/2
    2.83154387815953-1.57079632675     		φ = 1.26074755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73508774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26074755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.235514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3831 KachelY 838 2.73508774 1.26074755 156.708984 72.235514
    Oben rechts KachelX + 1 3832 KachelY 838 2.73662173 1.26074755 156.796875 72.235514
    Unten links KachelX 3831 KachelY + 1 839 2.73508774 1.26027918 156.708984 72.208678
    Unten rechts KachelX + 1 3832 KachelY + 1 839 2.73662173 1.26027918 156.796875 72.208678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26074755-1.26027918) × R
    0.000468370000000107 × 6371000     		dl = 2983.98527000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26074755-1.26027918) × R
    0.000468370000000107 × 6371000     		dr = 2983.98527000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73508774-2.73662173) × cos(1.26074755) × R
    0.00153398999999999 × 0.305105087859742 × 6371000     		do = 2981.8073673881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73508774-2.73662173) × cos(1.26027918) × R
    0.00153398999999999 × 0.305551091882267 × 6371000     		du = 2986.16618712978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26074755)-sin(1.26027918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305105087859742-0.305551091882267)×R²
    abs(2.73662173-2.73508774)×0.000446004022524593×R²
    0.00153398999999999×0.000446004022524593×6371000²
    0.00153398999999999×0.000446004022524593×40589641000000     		ar = 8904172.75199091m²