Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38307 / 29607
↖ ↑ ↗
← N 17.104043°
E 30.426636°		 ← 583.83 m → N 17.104043°
E 30.432129°		 →
↑
583.84 m
↓
↑
583.84 m
↓
N 17.098792°
E 30.426636°		 ← 583.85 m →
340 870 m²		 N 17.098792°
E 30.432129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584526062011719 y=0.451774597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584526062011719 × 216)
    floor (0.584526062011719 × 65536)
    floor (38307.5)     		tx = 38307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451774597167969 × 216)
    floor (0.451774597167969 × 65536)
    floor (29607.5)     		ty = 29607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38307 / 29607 ti = "16/38307/29607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38307/29607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38307 ÷ 216
    38307 ÷ 65536     		x = 0.584518432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29607 ÷ 216
    29607 ÷ 65536     		y = 0.451766967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584518432617188 × 2 - 1) × π
    0.169036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53104497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451766967773438 × 2 - 1) × π
    0.096466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.303057079397995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53104497} λ = 0.53104497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303057079397995))-π/2
    2×atan(1.35399174727046)-π/2
    2×0.934659092129365-π/2
    1.86931818425873-1.57079632675     		φ = 0.29852186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53104497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.426636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29852186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.104043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38307 KachelY 29607 0.53104497 0.29852186 30.426636 17.104043
    Oben rechts KachelX + 1 38308 KachelY 29607 0.53114085 0.29852186 30.432129 17.104043
    Unten links KachelX 38307 KachelY + 1 29608 0.53104497 0.29843022 30.426636 17.098792
    Unten rechts KachelX + 1 38308 KachelY + 1 29608 0.53114085 0.29843022 30.432129 17.098792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29852186-0.29843022) × R
    9.16400000000039e-05 × 6371000     		dl = 583.838440000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29852186-0.29843022) × R
    9.16400000000039e-05 × 6371000     		dr = 583.838440000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53104497-0.53114085) × cos(0.29852186) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.955772265548677 × 6371000     		do = 583.834902953656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53104497-0.53114085) × cos(0.29843022) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.95579921357083 × 6371000     		du = 583.851364192871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29852186)-sin(0.29843022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955772265548677-0.95579921357083)×R²
    abs(0.53114085-0.53104497)×2.69480221521956e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.69480221521956e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.69480221521956e-05×40589641000000     		ar = 340870.064548563m²