Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38306 / 29610
↖ ↑ ↗
← N 17.088291°
E 30.421143°		 ← 583.82 m → N 17.088291°
E 30.426636°		 →
↑
583.90 m
↓
↑
583.90 m
↓
N 17.083040°
E 30.421143°		 ← 583.84 m →
340 901 m²		 N 17.083040°
E 30.426636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584510803222656 y=0.451820373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584510803222656 × 216)
    floor (0.584510803222656 × 65536)
    floor (38306.5)     		tx = 38306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451820373535156 × 216)
    floor (0.451820373535156 × 65536)
    floor (29610.5)     		ty = 29610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38306 / 29610 ti = "16/38306/29610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38306/29610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38306 ÷ 216
    38306 ÷ 65536     		x = 0.584503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29610 ÷ 216
    29610 ÷ 65536     		y = 0.451812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584503173828125 × 2 - 1) × π
    0.16900634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53094910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451812744140625 × 2 - 1) × π
    0.09637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.302769458000275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53094910} λ = 0.53094910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302769458000275))-π/2
    2×atan(1.35360236627145)-π/2
    2×0.93452163603979-π/2
    1.86904327207958-1.57079632675     		φ = 0.29824695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53094910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.421143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29824695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.088291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38306 KachelY 29610 0.53094910 0.29824695 30.421143 17.088291
    Oben rechts KachelX + 1 38307 KachelY 29610 0.53104497 0.29824695 30.426636 17.088291
    Unten links KachelX 38306 KachelY + 1 29611 0.53094910 0.29815530 30.421143 17.083040
    Unten rechts KachelX + 1 38307 KachelY + 1 29611 0.53104497 0.29815530 30.426636 17.083040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29824695-0.29815530) × R
    9.16499999999987e-05 × 6371000     		dl = 583.902149999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29824695-0.29815530) × R
    9.16499999999987e-05 × 6371000     		dr = 583.902149999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53094910-0.53104497) × cos(0.29824695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955853082596369 × 6371000     		do = 583.823372766649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53094910-0.53104497) × cos(0.29815530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955880009476203 × 6371000     		du = 583.839819375536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29824695)-sin(0.29815530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955853082596369-0.955880009476203)×R²
    abs(0.53104497-0.53094910)×2.69268798346323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69268798346323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69268798346323e-05×40589641000000     		ar = 340900.524422585m²