Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38303 / 29602
↖ ↑ ↗
← N 17.130292°
E 30.404663°		 ← 583.69 m → N 17.130292°
E 30.410156°		 →
↑
583.71 m
↓
↑
583.71 m
↓
N 17.125042°
E 30.404663°		 ← 583.71 m →
340 712 m²		 N 17.125042°
E 30.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584465026855469 y=0.451698303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584465026855469 × 216)
    floor (0.584465026855469 × 65536)
    floor (38303.5)     		tx = 38303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451698303222656 × 216)
    floor (0.451698303222656 × 65536)
    floor (29602.5)     		ty = 29602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38303 / 29602 ti = "16/38303/29602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38303/29602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38303 ÷ 216
    38303 ÷ 65536     		x = 0.584457397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29602 ÷ 216
    29602 ÷ 65536     		y = 0.451690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584457397460938 × 2 - 1) × π
    0.168914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53066148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451690673828125 × 2 - 1) × π
    0.09661865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.303536448394196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53066148} λ = 0.53066148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303536448394196))-π/2
    2×atan(1.3546409645301)-π/2
    2×0.934888159769235-π/2
    1.86977631953847-1.57079632675     		φ = 0.29897999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53066148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.404663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29897999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.130292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38303 KachelY 29602 0.53066148 0.29897999 30.404663 17.130292
    Oben rechts KachelX + 1 38304 KachelY 29602 0.53075735 0.29897999 30.410156 17.130292
    Unten links KachelX 38303 KachelY + 1 29603 0.53066148 0.29888837 30.404663 17.125042
    Unten rechts KachelX + 1 38304 KachelY + 1 29603 0.53075735 0.29888837 30.410156 17.125042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29897999-0.29888837) × R
    9.1619999999959e-05 × 6371000     		dl = 583.711019999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29897999-0.29888837) × R
    9.1619999999959e-05 × 6371000     		dr = 583.711019999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53066148-0.53075735) × cos(0.29897999) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95563742566359 × 6371000     		do = 583.691652149592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53066148-0.53075735) × cos(0.29888837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955664407920537 × 6371000     		du = 583.708132582142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29897999)-sin(0.29888837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95563742566359-0.955664407920537)×R²
    abs(0.53075735-0.53066148)×2.69822569465283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69822569465283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69822569465283e-05×40589641000000     		ar = 340712.059785107m²