Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 383 / 626
↖ ↑ ↗
← S 37.160316°
W 45.351563°		 ← 31.154 km → S 37.160316°
W 45.000000°		 →
↑
31.097 km
↓
↑
31.097 km
↓
S 37.439974°
W 45.351563°		 ← 31.039 km →
966.995 km²		 S 37.439974°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37451171875 y=0.61181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37451171875 × 210)
    floor (0.37451171875 × 1024)
    floor (383.5)     		tx = 383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61181640625 × 210)
    floor (0.61181640625 × 1024)
    floor (626.5)     		ty = 626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 383 / 626 ti = "10/383/626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/383/626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 383 ÷ 210
    383 ÷ 1024     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 626 ÷ 210
    626 ÷ 1024     		y = 0.611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611328125 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.699495239255859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.699495239255859))-π/2
    2×atan(0.496836023830374)-π/2
    2×0.461113225993472-π/2
    0.922226451986944-1.57079632675     		φ = -0.64856987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64856987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.160316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 383 KachelY 626 -0.79153409 -0.64856987 -45.351563 -37.160316
    Oben rechts KachelX + 1 384 KachelY 626 -0.78539816 -0.64856987 -45.000000 -37.160316
    Unten links KachelX 383 KachelY + 1 627 -0.79153409 -0.65345082 -45.351563 -37.439974
    Unten rechts KachelX + 1 384 KachelY + 1 627 -0.78539816 -0.65345082 -45.000000 -37.439974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64856987--0.65345082) × R
    0.00488095 × 6371000     		dl = 31096.53245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64856987--0.65345082) × R
    0.00488095 × 6371000     		dr = 31096.53245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.78539816) × cos(-0.64856987) × R
    0.00613593000000001 × 0.796948479384723 × 6371000     		do = 31154.3179495009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.78539816) × cos(-0.65345082) × R
    0.00613593000000001 × 0.793990673399832 × 6371000     		du = 31038.6913682727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64856987)-sin(-0.65345082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796948479384723-0.793990673399832)×R²
    abs(-0.78539816--0.79153409)×0.00295780598489048×R²
    0.00613593000000001×0.00295780598489048×6371000²
    0.00613593000000001×0.00295780598489048×40589641000000     		ar = 966995385.989244m²