Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38295 / 29751
↖ ↑ ↗
← N 16.346497°
E 30.360718°		 ← 586.10 m → N 16.346497°
E 30.366211°		 →
↑
586.13 m
↓
↑
586.13 m
↓
N 16.341226°
E 30.360718°		 ← 586.11 m →
343 535 m²		 N 16.341226°
E 30.366211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584342956542969 y=0.453971862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584342956542969 × 216)
    floor (0.584342956542969 × 65536)
    floor (38295.5)     		tx = 38295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453971862792969 × 216)
    floor (0.453971862792969 × 65536)
    floor (29751.5)     		ty = 29751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38295 / 29751 ti = "16/38295/29751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38295/29751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38295 ÷ 216
    38295 ÷ 65536     		x = 0.584335327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29751 ÷ 216
    29751 ÷ 65536     		y = 0.453964233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584335327148438 × 2 - 1) × π
    0.168670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52989449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453964233398438 × 2 - 1) × π
    0.092071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.289251252307419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52989449} λ = 0.52989449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289251252307419))-π/2
    2×atan(1.3354272155501)-π/2
    2×0.928048258603566-π/2
    1.85609651720713-1.57079632675     		φ = 0.28530019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52989449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.360718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28530019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.346497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38295 KachelY 29751 0.52989449 0.28530019 30.360718 16.346497
    Oben rechts KachelX + 1 38296 KachelY 29751 0.52999036 0.28530019 30.366211 16.346497
    Unten links KachelX 38295 KachelY + 1 29752 0.52989449 0.28520819 30.360718 16.341226
    Unten rechts KachelX + 1 38296 KachelY + 1 29752 0.52999036 0.28520819 30.366211 16.341226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28530019-0.28520819) × R
    9.20000000000365e-05 × 6371000     		dl = 586.132000000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28530019-0.28520819) × R
    9.20000000000365e-05 × 6371000     		dr = 586.132000000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52989449-0.52999036) × cos(0.28530019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959577208763872 × 6371000     		do = 586.098023483697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52989449-0.52999036) × cos(0.28520819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959603097690695 × 6371000     		du = 586.113836123579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28530019)-sin(0.28520819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959577208763872-0.959603097690695)×R²
    abs(0.52999036-0.52989449)×2.58889268225371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.58889268225371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.58889268225371e-05×40589641000000     		ar = 343535.441090026m²