Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38293 / 29755
↖ ↑ ↗
← N 16.325411°
E 30.349731°		 ← 586.16 m → N 16.325411°
E 30.355224°		 →
↑
586.20 m
↓
↑
586.20 m
↓
N 16.320140°
E 30.349731°		 ← 586.18 m →
343 610 m²		 N 16.320140°
E 30.355224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584312438964844 y=0.454032897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584312438964844 × 216)
    floor (0.584312438964844 × 65536)
    floor (38293.5)     		tx = 38293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454032897949219 × 216)
    floor (0.454032897949219 × 65536)
    floor (29755.5)     		ty = 29755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38293 / 29755 ti = "16/38293/29755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38293/29755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38293 ÷ 216
    38293 ÷ 65536     		x = 0.584304809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29755 ÷ 216
    29755 ÷ 65536     		y = 0.454025268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584304809570312 × 2 - 1) × π
    0.168609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52970274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454025268554688 × 2 - 1) × π
    0.091949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.288867757110458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52970274} λ = 0.52970274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288867757110458))-π/2
    2×atan(1.33491518381417)-π/2
    2×0.927864252052393-π/2
    1.85572850410479-1.57079632675     		φ = 0.28493218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52970274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.349731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28493218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.325411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38293 KachelY 29755 0.52970274 0.28493218 30.349731 16.325411
    Oben rechts KachelX + 1 38294 KachelY 29755 0.52979861 0.28493218 30.355224 16.325411
    Unten links KachelX 38293 KachelY + 1 29756 0.52970274 0.28484017 30.349731 16.320140
    Unten rechts KachelX + 1 38294 KachelY + 1 29756 0.52979861 0.28484017 30.355224 16.320140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28493218-0.28484017) × R
    9.20099999999757e-05 × 6371000     		dl = 586.195709999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28493218-0.28484017) × R
    9.20099999999757e-05 × 6371000     		dr = 586.195709999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52970274-0.52979861) × cos(0.28493218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.959680718548726 × 6371000     		do = 586.161245994361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52970274-0.52979861) × cos(0.28484017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95970657779507 × 6371000     		du = 586.17704050577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28493218)-sin(0.28484017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959680718548726-0.95970657779507)×R²
    abs(0.52979861-0.52970274)×2.58592463437957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.58592463437957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.58592463437957e-05×40589641000000     		ar = 343609.837350044m²