Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38291 / 29175
↖ ↑ ↗
← N 19.357793°
E 30.338745°		 ← 576.32 m → N 19.357793°
E 30.344238°		 →
↑
576.26 m
↓
↑
576.26 m
↓
N 19.352611°
E 30.338745°		 ← 576.34 m →
332 113 m²		 N 19.352611°
E 30.344238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584281921386719 y=0.445182800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584281921386719 × 216)
    floor (0.584281921386719 × 65536)
    floor (38291.5)     		tx = 38291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445182800292969 × 216)
    floor (0.445182800292969 × 65536)
    floor (29175.5)     		ty = 29175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38291 / 29175 ti = "16/38291/29175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38291/29175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38291 ÷ 216
    38291 ÷ 65536     		x = 0.584274291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29175 ÷ 216
    29175 ÷ 65536     		y = 0.445175170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584274291992188 × 2 - 1) × π
    0.168548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52951099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445175170898438 × 2 - 1) × π
    0.109649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.344474560669724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52951099} λ = 0.52951099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344474560669724))-π/2
    2×atan(1.41124819951145)-π/2
    2×0.954326780480466-π/2
    1.90865356096093-1.57079632675     		φ = 0.33785723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52951099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.338745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33785723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.357793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38291 KachelY 29175 0.52951099 0.33785723 30.338745 19.357793
    Oben rechts KachelX + 1 38292 KachelY 29175 0.52960687 0.33785723 30.344238 19.357793
    Unten links KachelX 38291 KachelY + 1 29176 0.52951099 0.33776678 30.338745 19.352611
    Unten rechts KachelX + 1 38292 KachelY + 1 29176 0.52960687 0.33776678 30.344238 19.352611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33785723-0.33776678) × R
    9.04500000000197e-05 × 6371000     		dl = 576.256950000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33785723-0.33776678) × R
    9.04500000000197e-05 × 6371000     		dr = 576.256950000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52951099-0.52960687) × cos(0.33785723) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943467086807057 × 6371000     		do = 576.318266307002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52951099-0.52960687) × cos(0.33776678) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943497064067419 × 6371000     		du = 576.33657796086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33785723)-sin(0.33776678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943467086807057-0.943497064067419)×R²
    abs(0.52960687-0.52951099)×2.99772603620241e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99772603620241e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99772603620241e-05×40589641000000     		ar = 332112.682706617m²