Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3829 / 872
↖ ↑ ↗
← N 71.300793°
E156.533203°		 ← 3 133.22 m → N 71.300793°
E156.621094°		 →
↑
3 135.55 m
↓
↑
3 135.55 m
↓
N 71.272594°
E156.533203°		 ← 3 137.77 m →
9 831 509 m²		 N 71.272594°
E156.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9349365234375 y=0.2130126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9349365234375 × 212)
    floor (0.9349365234375 × 4096)
    floor (3829.5)     		tx = 3829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2130126953125 × 212)
    floor (0.2130126953125 × 4096)
    floor (872.5)     		ty = 872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3829 / 872 ti = "12/3829/872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3829/872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3829 ÷ 212
    3829 ÷ 4096     		x = 0.934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 872 ÷ 212
    872 ÷ 4096     		y = 0.212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934814453125 × 2 - 1) × π
    0.86962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73201978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212890625 × 2 - 1) × π
    0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73201978} λ = 2.73201978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80396140650195))-π/2
    2×atan(6.07366010773167)-π/2
    2×1.40761496122588-π/2
    2.81522992245175-1.57079632675     		φ = 1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73201978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3829 KachelY 872 2.73201978 1.24443360 156.533203 71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 3830 KachelY 872 2.73355376 1.24443360 156.621094 71.300793
    Unten links KachelX 3829 KachelY + 1 873 2.73201978 1.24394144 156.533203 71.272594
    Unten rechts KachelX + 1 3830 KachelY + 1 873 2.73355376 1.24394144 156.621094 71.272594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24443360-1.24394144) × R
    0.000492160000000075 × 6371000     		dl = 3135.55136000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24443360-1.24394144) × R
    0.000492160000000075 × 6371000     		dr = 3135.55136000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73201978-2.73355376) × cos(1.24443360) × R
    0.00153398000000005 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 3133.21830536448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73201978-2.73355376) × cos(1.24394144) × R
    0.00153398000000005 × 0.32106602036008 × 6371000     		du = 3137.77390827316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24443360)-sin(1.24394144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.32106602036008)×R²
    abs(2.73355376-2.73201978)×0.000466142347724408×R²
    0.00153398000000005×0.000466142347724408×6371000²
    0.00153398000000005×0.000466142347724408×40589641000000     		ar = 9831509.28046665m²