Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38281 / 29309
↖ ↑ ↗
← N 18.661859°
E 30.283814°		 ← 578.67 m → N 18.661859°
E 30.289307°		 →
↑
578.68 m
↓
↑
578.68 m
↓
N 18.656655°
E 30.283814°		 ← 578.69 m →
334 871 m²		 N 18.656655°
E 30.289307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584129333496094 y=0.447227478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584129333496094 × 216)
    floor (0.584129333496094 × 65536)
    floor (38281.5)     		tx = 38281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447227478027344 × 216)
    floor (0.447227478027344 × 65536)
    floor (29309.5)     		ty = 29309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38281 / 29309 ti = "16/38281/29309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38281/29309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38281 ÷ 216
    38281 ÷ 65536     		x = 0.584121704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29309 ÷ 216
    29309 ÷ 65536     		y = 0.447219848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584121704101562 × 2 - 1) × π
    0.168243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52855226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447219848632812 × 2 - 1) × π
    0.105560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.331627471571548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52855226} λ = 0.52855226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331627471571548))-π/2
    2×atan(1.39323373265292)-π/2
    2×0.948253604733115-π/2
    1.89650720946623-1.57079632675     		φ = 0.32571088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52855226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.283814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32571088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.661859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38281 KachelY 29309 0.52855226 0.32571088 30.283814 18.661859
    Oben rechts KachelX + 1 38282 KachelY 29309 0.52864813 0.32571088 30.289307 18.661859
    Unten links KachelX 38281 KachelY + 1 29310 0.52855226 0.32562005 30.283814 18.656655
    Unten rechts KachelX + 1 38282 KachelY + 1 29310 0.52864813 0.32562005 30.289307 18.656655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32571088-0.32562005) × R
    9.08299999999862e-05 × 6371000     		dl = 578.677929999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32571088-0.32562005) × R
    9.08299999999862e-05 × 6371000     		dr = 578.677929999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52855226-0.52864813) × cos(0.32571088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947423496756429 × 6371000     		do = 578.674684829449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52855226-0.52864813) × cos(0.32562005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947452556846989 × 6371000     		du = 578.692434377358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32571088)-sin(0.32562005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947423496756429-0.947452556846989)×R²
    abs(0.52864813-0.52855226)×2.90600905600291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90600905600291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90600905600291e-05×40589641000000     		ar = 334871.404626489m²