Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3828 / 874
↖ ↑ ↗
← N 71.244356°
E156.445312°		 ← 3 142.34 m → N 71.244356°
E156.533203°		 →
↑
3 144.66 m
↓
↑
3 144.66 m
↓
N 71.216075°
E156.445312°		 ← 3 146.90 m →
9 888 763 m²		 N 71.216075°
E156.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9346923828125 y=0.2135009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9346923828125 × 212)
    floor (0.9346923828125 × 4096)
    floor (3828.5)     		tx = 3828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2135009765625 × 212)
    floor (0.2135009765625 × 4096)
    floor (874.5)     		ty = 874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3828 / 874 ti = "12/3828/874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3828/874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3828 ÷ 212
    3828 ÷ 4096     		x = 0.9345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 874 ÷ 212
    874 ÷ 4096     		y = 0.21337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9345703125 × 2 - 1) × π
    0.869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73048580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21337890625 × 2 - 1) × π
    0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73048580} λ = 2.73048580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80089344492627))-π/2
    2×atan(6.05505490651189)-π/2
    2×1.40712245197172-π/2
    2.81424490394343-1.57079632675     		φ = 1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73048580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3828 KachelY 874 2.73048580 1.24344858 156.445312 71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 3829 KachelY 874 2.73201978 1.24344858 156.533203 71.244356
    Unten links KachelX 3828 KachelY + 1 875 2.73048580 1.24295499 156.445312 71.216075
    Unten rechts KachelX + 1 3829 KachelY + 1 875 2.73201978 1.24295499 156.533203 71.216075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24344858-1.24295499) × R
    0.000493589999999822 × 6371000     		dl = 3144.66188999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24344858-1.24295499) × R
    0.000493589999999822 × 6371000     		dr = 3144.66188999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73048580-2.73201978) × cos(1.24344858) × R
    0.00153398000000005 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 3142.33522896458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73048580-2.73201978) × cos(1.24295499) × R
    0.00153398000000005 × 0.322000088191557 × 6371000     		du = 3146.90254065499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24344858)-sin(1.24295499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.322000088191557)×R²
    abs(2.73201978-2.73048580)×0.000467340423832729×R²
    0.00153398000000005×0.000467340423832729×6371000²
    0.00153398000000005×0.000467340423832729×40589641000000     		ar = 9888763.36640282m²