Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3828 / 5341
↖ ↑ ↗
← N 76.276516°
W137.944336°		 ← 289.82 m → N 76.276516°
W137.933350°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 76.273909°
W137.944336°		 ← 289.87 m →
84 002 m²		 N 76.273909°
W137.933350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116836547851562 y=0.163009643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116836547851562 × 215)
    floor (0.116836547851562 × 32768)
    floor (3828.5)     		tx = 3828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163009643554688 × 215)
    floor (0.163009643554688 × 32768)
    floor (5341.5)     		ty = 5341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3828 / 5341 ti = "15/3828/5341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3828/5341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3828 ÷ 215
    3828 ÷ 32768     		x = 0.1168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5341 ÷ 215
    5341 ÷ 32768     		y = 0.162994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40758285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162994384765625 × 2 - 1) × π
    0.67401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11746873001712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40758285} λ = -2.40758285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11746873001712))-π/2
    2×atan(8.31007579710021)-π/2
    2×1.45103633563394-π/2
    2.90207267126789-1.57079632675     		φ = 1.33127634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40758285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33127634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.276516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3828 KachelY 5341 -2.40758285 1.33127634 -137.944336 76.276516
    Oben rechts KachelX + 1 3829 KachelY 5341 -2.40739110 1.33127634 -137.933350 76.276516
    Unten links KachelX 3828 KachelY + 1 5342 -2.40758285 1.33123085 -137.944336 76.273909
    Unten rechts KachelX + 1 3829 KachelY + 1 5342 -2.40739110 1.33123085 -137.933350 76.273909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33127634-1.33123085) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dl = 289.816789999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33127634-1.33123085) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dr = 289.816789999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40758285--2.40739110) × cos(1.33127634) × R
    0.000191749999999935 × 0.237236344005644 × 6371000     		do = 289.817229363698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40758285--2.40739110) × cos(1.33123085) × R
    0.000191749999999935 × 0.23728053510998 × 6371000     		du = 289.871214951256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33127634)-sin(1.33123085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237236344005644-0.23728053510998)×R²
    abs(-2.40739110--2.40758285)×4.41911043358723e-05×R²
    0.000191749999999935×4.41911043358723e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.41911043358723e-05×40589641000000     		ar = 84001.7220803652m²