Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38278 / 29631
↖ ↑ ↗
← N 16.977995°
E 30.267334°		 ← 584.23 m → N 16.977995°
E 30.272827°		 →
↑
584.22 m
↓
↑
584.22 m
↓
N 16.972741°
E 30.267334°		 ← 584.25 m →
341 323 m²		 N 16.972741°
E 30.272827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584083557128906 y=0.452140808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584083557128906 × 216)
    floor (0.584083557128906 × 65536)
    floor (38278.5)     		tx = 38278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452140808105469 × 216)
    floor (0.452140808105469 × 65536)
    floor (29631.5)     		ty = 29631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38278 / 29631 ti = "16/38278/29631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38278/29631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38278 ÷ 216
    38278 ÷ 65536     		x = 0.584075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29631 ÷ 216
    29631 ÷ 65536     		y = 0.452133178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584075927734375 × 2 - 1) × π
    0.16815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52826463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452133178710938 × 2 - 1) × π
    0.095733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.300756108216232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52826463} λ = 0.52826463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300756108216232))-π/2
    2×atan(1.35087983286533)-π/2
    2×0.933559118643185-π/2
    1.86711823728637-1.57079632675     		φ = 0.29632191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52826463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.267334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29632191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.977995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38278 KachelY 29631 0.52826463 0.29632191 30.267334 16.977995
    Oben rechts KachelX + 1 38279 KachelY 29631 0.52836051 0.29632191 30.272827 16.977995
    Unten links KachelX 38278 KachelY + 1 29632 0.52826463 0.29623021 30.267334 16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 38279 KachelY + 1 29632 0.52836051 0.29623021 30.272827 16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29632191-0.29623021) × R
    9.17000000000279e-05 × 6371000     		dl = 584.220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29632191-0.29623021) × R
    9.17000000000279e-05 × 6371000     		dr = 584.220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52826463-0.52836051) × cos(0.29632191) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.956416974537731 × 6371000     		do = 584.228724393112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52826463-0.52836051) × cos(0.29623021) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 584.245078586882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29632191)-sin(0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956416974537731-0.956443747320158)×R²
    abs(0.52836051-0.52826463)×2.67727824277975e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.67727824277975e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.67727824277975e-05×40589641000000     		ar = 341323.291793482m²