Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38273 / 29567
↖ ↑ ↗
← N 17.313932°
E 30.239868°		 ← 583.17 m → N 17.313932°
E 30.245361°		 →
↑
583.14 m
↓
↑
583.14 m
↓
N 17.308688°
E 30.239868°		 ← 583.19 m →
340 075 m²		 N 17.308688°
E 30.245361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584007263183594 y=0.451164245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584007263183594 × 216)
    floor (0.584007263183594 × 65536)
    floor (38273.5)     		tx = 38273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451164245605469 × 216)
    floor (0.451164245605469 × 65536)
    floor (29567.5)     		ty = 29567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38273 / 29567 ti = "16/38273/29567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38273/29567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38273 ÷ 216
    38273 ÷ 65536     		x = 0.583999633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29567 ÷ 216
    29567 ÷ 65536     		y = 0.451156616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583999633789062 × 2 - 1) × π
    0.167999267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52778526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451156616210938 × 2 - 1) × π
    0.097686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3068920313676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52778526} λ = 0.52778526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3068920313676))-π/2
    2×atan(1.35919420980948)-π/2
    2×0.936490725263108-π/2
    1.87298145052622-1.57079632675     		φ = 0.30218512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52778526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.239868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30218512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.313932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38273 KachelY 29567 0.52778526 0.30218512 30.239868 17.313932
    Oben rechts KachelX + 1 38274 KachelY 29567 0.52788114 0.30218512 30.245361 17.313932
    Unten links KachelX 38273 KachelY + 1 29568 0.52778526 0.30209359 30.239868 17.308688
    Unten rechts KachelX + 1 38274 KachelY + 1 29568 0.52788114 0.30209359 30.245361 17.308688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30218512-0.30209359) × R
    9.15299999999508e-05 × 6371000     		dl = 583.137629999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30218512-0.30209359) × R
    9.15299999999508e-05 × 6371000     		dr = 583.137629999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52778526-0.52788114) × cos(0.30218512) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.954688461780243 × 6371000     		do = 583.172859817002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52778526-0.52788114) × cos(0.30209359) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.954715697752077 × 6371000     		du = 583.189496950707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30218512)-sin(0.30209359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954688461780243-0.954715697752077)×R²
    abs(0.52788114-0.52778526)×2.72359718346271e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.72359718346271e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.72359718346271e-05×40589641000000     		ar = 340074.890460728m²