Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3827 / 5342
↖ ↑ ↗
← N 76.273909°
W137.955322°		 ← 289.86 m → N 76.273909°
W137.944336°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
N 76.271302°
W137.955322°		 ← 289.91 m →
84 031 m²		 N 76.271302°
W137.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116806030273438 y=0.163040161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116806030273438 × 215)
    floor (0.116806030273438 × 32768)
    floor (3827.5)     		tx = 3827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163040161132812 × 215)
    floor (0.163040161132812 × 32768)
    floor (5342.5)     		ty = 5342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3827 / 5342 ti = "15/3827/5342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3827/5342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3827 ÷ 215
    3827 ÷ 32768     		x = 0.116790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5342 ÷ 215
    5342 ÷ 32768     		y = 0.16302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.76641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.40777459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16302490234375 × 2 - 1) × π
    0.6739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11727698241864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40777459} λ = -2.40777459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11727698241864))-π/2
    2×atan(8.30848251278203)-π/2
    2×1.45101358876625-π/2
    2.90202717753249-1.57079632675     		φ = 1.33123085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40777459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.955322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33123085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.273909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3827 KachelY 5342 -2.40777459 1.33123085 -137.955322 76.273909
    Oben rechts KachelX + 1 3828 KachelY 5342 -2.40758285 1.33123085 -137.944336 76.273909
    Unten links KachelX 3827 KachelY + 1 5343 -2.40777459 1.33118535 -137.955322 76.271302
    Unten rechts KachelX + 1 3828 KachelY + 1 5343 -2.40758285 1.33118535 -137.944336 76.271302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33123085-1.33118535) × R
    4.55000000001426e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33123085-1.33118535) × R
    4.55000000001426e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40777459--2.40758285) × cos(1.33123085) × R
    0.000191739999999996 × 0.23728053510998 × 6371000     		do = 289.856097808456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40777459--2.40758285) × cos(1.33118535) × R
    0.000191739999999996 × 0.237324735437605 × 6371000     		du = 289.910091847543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33123085)-sin(1.33118535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23728053510998-0.237324735437605)×R²
    abs(-2.40758285--2.40777459)×4.42003276256431e-05×R²
    0.000191739999999996×4.42003276256431e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.42003276256431e-05×40589641000000     		ar = 84031.456484829m²