Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 38269 / 29826
↖ ↑ ↗
← N 69.532597°
W 74.891052°		 ← 106.78 m → N 69.532597°
W 74.888306°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
N 69.531636°
W 74.891052°		 ← 106.78 m →
11 402 m²		 N 69.531636°
W 74.888306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.291973114013672 y=0.227558135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.291973114013672 × 217)
    floor (0.291973114013672 × 131072)
    floor (38269.5)     		tx = 38269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227558135986328 × 217)
    floor (0.227558135986328 × 131072)
    floor (29826.5)     		ty = 29826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 38269 / 29826 ti = "17/38269/29826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/38269/29826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38269 ÷ 217
    38269 ÷ 131072     		x = 0.291969299316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29826 ÷ 217
    29826 ÷ 131072     		y = 0.227554321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.291969299316406 × 2 - 1) × π
    -0.416061401367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.30709544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227554321289062 × 2 - 1) × π
    0.544891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71182668543221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.30709544} λ = -1.30709544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71182668543221))-π/2
    2×atan(5.53907038109282)-π/2
    2×1.39218454005524-π/2
    2.78436908011047-1.57079632675     		φ = 1.21357275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.30709544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -74.891052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21357275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.532597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38269 KachelY 29826 -1.30709544 1.21357275 -74.891052 69.532597
    Oben rechts KachelX + 1 38270 KachelY 29826 -1.30704751 1.21357275 -74.888306 69.532597
    Unten links KachelX 38269 KachelY + 1 29827 -1.30709544 1.21355599 -74.891052 69.531636
    Unten rechts KachelX + 1 38270 KachelY + 1 29827 -1.30704751 1.21355599 -74.888306 69.531636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21357275-1.21355599) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21357275-1.21355599) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.30709544--1.30704751) × cos(1.21357275) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349674433197973 × 6371000     		do = 106.777294760498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.30709544--1.30704751) × cos(1.21355599) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349690135111473 × 6371000     		du = 106.782089528679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21357275)-sin(1.21355599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349674433197973-0.349690135111473)×R²
    abs(-1.30704751--1.30709544)×1.570191350031e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.570191350031e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.570191350031e-05×40589641000000     		ar = 11401.7176968926m²