Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3826 / 5332
↖ ↑ ↗
← N 76.299954°
W137.966308°		 ← 289.33 m → N 76.299954°
W137.955322°		 →
↑
289.37 m
↓
↑
289.37 m
↓
N 76.297351°
W137.966308°		 ← 289.39 m →
83 732 m²		 N 76.297351°
W137.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116775512695312 y=0.162734985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116775512695312 × 215)
    floor (0.116775512695312 × 32768)
    floor (3826.5)     		tx = 3826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162734985351562 × 215)
    floor (0.162734985351562 × 32768)
    floor (5332.5)     		ty = 5332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3826 / 5332 ti = "15/3826/5332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3826/5332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3826 ÷ 215
    3826 ÷ 32768     		x = 0.11676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5332 ÷ 215
    5332 ÷ 32768     		y = 0.1627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.7664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40796634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1627197265625 × 2 - 1) × π
    0.674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11919445840344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40796634} λ = -2.40796634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11919445840344))-π/2
    2×atan(8.32442911219523)-π/2
    2×1.45124086687869-π/2
    2.90248173375737-1.57079632675     		φ = 1.33168541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40796634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33168541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.299954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3826 KachelY 5332 -2.40796634 1.33168541 -137.966308 76.299954
    Oben rechts KachelX + 1 3827 KachelY 5332 -2.40777459 1.33168541 -137.955322 76.299954
    Unten links KachelX 3826 KachelY + 1 5333 -2.40796634 1.33163999 -137.966308 76.297351
    Unten rechts KachelX + 1 3827 KachelY + 1 5333 -2.40777459 1.33163999 -137.955322 76.297351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33168541-1.33163999) × R
    4.54199999999627e-05 × 6371000     		dl = 289.370819999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33168541-1.33163999) × R
    4.54199999999627e-05 × 6371000     		dr = 289.370819999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40796634--2.40777459) × cos(1.33168541) × R
    0.000191750000000379 × 0.236838932312723 × 6371000     		do = 289.331735641888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40796634--2.40777459) × cos(1.33163999) × R
    0.000191750000000379 × 0.236883059820736 × 6371000     		du = 289.385643537682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33168541)-sin(1.33163999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236838932312723-0.236883059820736)×R²
    abs(-2.40777459--2.40796634)×4.41275080130255e-05×R²
    0.000191750000000379×4.41275080130255e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.41275080130255e-05×40589641000000     		ar = 83731.9612955231m²