Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38257 / 29588
↖ ↑ ↗
← N 17.203770°
E 30.151977°		 ← 583.52 m → N 17.203770°
E 30.157471°		 →
↑
583.52 m
↓
↑
583.52 m
↓
N 17.198522°
E 30.151977°		 ← 583.54 m →
340 501 m²		 N 17.198522°
E 30.157471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583763122558594 y=0.451484680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583763122558594 × 216)
    floor (0.583763122558594 × 65536)
    floor (38257.5)     		tx = 38257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451484680175781 × 216)
    floor (0.451484680175781 × 65536)
    floor (29588.5)     		ty = 29588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38257 / 29588 ti = "16/38257/29588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38257/29588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38257 ÷ 216
    38257 ÷ 65536     		x = 0.583755493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29588 ÷ 216
    29588 ÷ 65536     		y = 0.45147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583755493164062 × 2 - 1) × π
    0.167510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52625128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45147705078125 × 2 - 1) × π
    0.0970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.304878681583557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52625128} λ = 0.52625128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304878681583557))-π/2
    2×atan(1.35646042939226)-π/2
    2×0.935529376967136-π/2
    1.87105875393427-1.57079632675     		φ = 0.30026243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52625128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.151977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30026243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.203770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38257 KachelY 29588 0.52625128 0.30026243 30.151977 17.203770
    Oben rechts KachelX + 1 38258 KachelY 29588 0.52634716 0.30026243 30.157471 17.203770
    Unten links KachelX 38257 KachelY + 1 29589 0.52625128 0.30017084 30.151977 17.198522
    Unten rechts KachelX + 1 38258 KachelY + 1 29589 0.52634716 0.30017084 30.157471 17.198522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30026243-0.30017084) × R
    9.15900000000303e-05 × 6371000     		dl = 583.519890000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30026243-0.30017084) × R
    9.15900000000303e-05 × 6371000     		dr = 583.519890000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52625128-0.52634716) × cos(0.30026243) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.955258902861887 × 6371000     		do = 583.521314596653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52625128-0.52634716) × cos(0.30017084) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.955285988512374 × 6371000     		du = 583.53785990634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30026243)-sin(0.30017084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955258902861887-0.955285988512374)×R²
    abs(0.52634716-0.52625128)×2.70856504874795e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.70856504874795e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.70856504874795e-05×40589641000000     		ar = 340501.120802863m²