Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38255 / 29589
↖ ↑ ↗
← N 17.198522°
E 30.140991°		 ← 583.48 m → N 17.198522°
E 30.146484°		 →
↑
583.52 m
↓
↑
583.52 m
↓
N 17.193275°
E 30.140991°		 ← 583.49 m →
340 475 m²		 N 17.193275°
E 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583732604980469 y=0.451499938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583732604980469 × 216)
    floor (0.583732604980469 × 65536)
    floor (38255.5)     		tx = 38255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451499938964844 × 216)
    floor (0.451499938964844 × 65536)
    floor (29589.5)     		ty = 29589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38255 / 29589 ti = "16/38255/29589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38255/29589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38255 ÷ 216
    38255 ÷ 65536     		x = 0.583724975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29589 ÷ 216
    29589 ÷ 65536     		y = 0.451492309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583724975585938 × 2 - 1) × π
    0.167449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52605954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451492309570312 × 2 - 1) × π
    0.097015380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.304782807784317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52605954} λ = 0.52605954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304782807784317))-π/2
    2×atan(1.35633038661132)-π/2
    2×0.935483584167759-π/2
    1.87096716833552-1.57079632675     		φ = 0.30017084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52605954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.140991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30017084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.198522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38255 KachelY 29589 0.52605954 0.30017084 30.140991 17.198522
    Oben rechts KachelX + 1 38256 KachelY 29589 0.52615541 0.30017084 30.146484 17.198522
    Unten links KachelX 38255 KachelY + 1 29590 0.52605954 0.30007925 30.140991 17.193275
    Unten rechts KachelX + 1 38256 KachelY + 1 29590 0.52615541 0.30007925 30.146484 17.193275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30017084-0.30007925) × R
    9.15899999999747e-05 × 6371000     		dl = 583.519889999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30017084-0.30007925) × R
    9.15899999999747e-05 × 6371000     		dr = 583.519889999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52605954-0.52615541) × cos(0.30017084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955285988512374 × 6371000     		do = 583.476998635706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52605954-0.52615541) × cos(0.30007925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955313066149227 × 6371000     		du = 583.493537325136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30017084)-sin(0.30007925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955285988512374-0.955313066149227)×R²
    abs(0.52615541-0.52605954)×2.70776368531678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70776368531678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70776368531678e-05×40589641000000     		ar = 340475.259626534m²