Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38254 / 29231
↖ ↑ ↗
← N 19.067309°
E 30.135498°		 ← 577.34 m → N 19.067309°
E 30.140991°		 →
↑
577.28 m
↓
↑
577.28 m
↓
N 19.062118°
E 30.135498°		 ← 577.36 m →
333 288 m²		 N 19.062118°
E 30.140991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583717346191406 y=0.446037292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583717346191406 × 216)
    floor (0.583717346191406 × 65536)
    floor (38254.5)     		tx = 38254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446037292480469 × 216)
    floor (0.446037292480469 × 65536)
    floor (29231.5)     		ty = 29231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38254 / 29231 ti = "16/38254/29231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38254/29231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38254 ÷ 216
    38254 ÷ 65536     		x = 0.583709716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29231 ÷ 216
    29231 ÷ 65536     		y = 0.446029663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583709716796875 × 2 - 1) × π
    0.16741943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52596366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446029663085938 × 2 - 1) × π
    0.107940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.339105627912277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52596366} λ = 0.52596366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339105627912277))-π/2
    2×atan(1.40369160639619)-π/2
    2×0.951791830700984-π/2
    1.90358366140197-1.57079632675     		φ = 0.33278733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52596366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.135498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33278733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.067309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38254 KachelY 29231 0.52596366 0.33278733 30.135498 19.067309
    Oben rechts KachelX + 1 38255 KachelY 29231 0.52605954 0.33278733 30.140991 19.067309
    Unten links KachelX 38254 KachelY + 1 29232 0.52596366 0.33269672 30.135498 19.062118
    Unten rechts KachelX + 1 38255 KachelY + 1 29232 0.52605954 0.33269672 30.140991 19.062118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33278733-0.33269672) × R
    9.0609999999991e-05 × 6371000     		dl = 577.276309999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33278733-0.33269672) × R
    9.0609999999991e-05 × 6371000     		dr = 577.276309999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52596366-0.52605954) × cos(0.33278733) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.945135454845852 × 6371000     		do = 577.337391392683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52596366-0.52605954) × cos(0.33269672) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.945165051322812 × 6371000     		du = 577.355470444437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33278733)-sin(0.33269672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945135454845852-0.945165051322812)×R²
    abs(0.52605954-0.52596366)×2.95964769598811e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.95964769598811e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.95964769598811e-05×40589641000000     		ar = 333288.4174602m²