Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38253 / 29583
↖ ↑ ↗
← N 17.230005°
E 30.130005°		 ← 583.38 m → N 17.230005°
E 30.135498°		 →
↑
583.46 m
↓
↑
583.46 m
↓
N 17.224758°
E 30.130005°		 ← 583.39 m →
340 380 m²		 N 17.224758°
E 30.135498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583702087402344 y=0.451408386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583702087402344 × 216)
    floor (0.583702087402344 × 65536)
    floor (38253.5)     		tx = 38253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451408386230469 × 216)
    floor (0.451408386230469 × 65536)
    floor (29583.5)     		ty = 29583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38253 / 29583 ti = "16/38253/29583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38253/29583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38253 ÷ 216
    38253 ÷ 65536     		x = 0.583694458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29583 ÷ 216
    29583 ÷ 65536     		y = 0.451400756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583694458007812 × 2 - 1) × π
    0.167388916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52586779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451400756835938 × 2 - 1) × π
    0.097198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.305358050579758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52586779} λ = 0.52586779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305358050579758))-π/2
    2×atan(1.35711083034525)-π/2
    2×0.935758321479377-π/2
    1.87151664295875-1.57079632675     		φ = 0.30072032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52586779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.130005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30072032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.230005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38253 KachelY 29583 0.52586779 0.30072032 30.130005 17.230005
    Oben rechts KachelX + 1 38254 KachelY 29583 0.52596366 0.30072032 30.135498 17.230005
    Unten links KachelX 38253 KachelY + 1 29584 0.52586779 0.30062874 30.130005 17.224758
    Unten rechts KachelX + 1 38254 KachelY + 1 29584 0.52596366 0.30062874 30.135498 17.224758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30072032-0.30062874) × R
    9.157999999998e-05 × 6371000     		dl = 583.456179999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30072032-0.30062874) × R
    9.157999999998e-05 × 6371000     		dr = 583.456179999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52586779-0.52596366) × cos(0.30072032) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.955123372185386 × 6371000     		do = 583.377674572655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52586779-0.52596366) × cos(0.30062874) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.955150494934179 × 6371000     		du = 583.394240815907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30072032)-sin(0.30062874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955123372185386-0.955150494934179)×R²
    abs(0.52596366-0.52586779)×2.71227487931291e-05×R²
    9.58700000001089e-05×2.71227487931291e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×2.71227487931291e-05×40589641000000     		ar = 340380.14257979m²