Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38252 / 29570
↖ ↑ ↗
← N 17.298199°
E 30.124512°		 ← 583.16 m → N 17.298199°
E 30.130005°		 →
↑
583.20 m
↓
↑
583.20 m
↓
N 17.292954°
E 30.124512°		 ← 583.18 m →
340 106 m²		 N 17.292954°
E 30.130005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583686828613281 y=0.451210021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583686828613281 × 216)
    floor (0.583686828613281 × 65536)
    floor (38252.5)     		tx = 38252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451210021972656 × 216)
    floor (0.451210021972656 × 65536)
    floor (29570.5)     		ty = 29570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38252 / 29570 ti = "16/38252/29570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38252/29570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38252 ÷ 216
    38252 ÷ 65536     		x = 0.58367919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29570 ÷ 216
    29570 ÷ 65536     		y = 0.451202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58367919921875 × 2 - 1) × π
    0.1673583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52577192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451202392578125 × 2 - 1) × π
    0.09759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.306604409969879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52577192} λ = 0.52577192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306604409969879))-π/2
    2×atan(1.35880333268609)-π/2
    2×0.936353424973869-π/2
    1.87270684994774-1.57079632675     		φ = 0.30191052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52577192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.124512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30191052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.298199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38252 KachelY 29570 0.52577192 0.30191052 30.124512 17.298199
    Oben rechts KachelX + 1 38253 KachelY 29570 0.52586779 0.30191052 30.130005 17.298199
    Unten links KachelX 38252 KachelY + 1 29571 0.52577192 0.30181898 30.124512 17.292954
    Unten rechts KachelX + 1 38253 KachelY + 1 29571 0.52586779 0.30181898 30.130005 17.292954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30191052-0.30181898) × R
    9.15400000000011e-05 × 6371000     		dl = 583.201340000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30191052-0.30181898) × R
    9.15400000000011e-05 × 6371000     		dr = 583.201340000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52577192-0.52586779) × cos(0.30191052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954770148673885 × 6371000     		do = 583.161929971078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52577192-0.52586779) × cos(0.30181898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954797363621654 × 6371000     		du = 583.178552528336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30191052)-sin(0.30181898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954770148673885-0.954797363621654)×R²
    abs(0.52586779-0.52577192)×2.72149477688055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72149477688055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72149477688055e-05×40589641000000     		ar = 340105.66638241m²