Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3825 / 5330
↖ ↑ ↗
← N 76.305157°
W137.977295°		 ← 289.22 m → N 76.305157°
W137.966308°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
N 76.302555°
W137.977295°		 ← 289.28 m →
83 664 m²		 N 76.302555°
W137.966308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116744995117188 y=0.162673950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116744995117188 × 215)
    floor (0.116744995117188 × 32768)
    floor (3825.5)     		tx = 3825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162673950195312 × 215)
    floor (0.162673950195312 × 32768)
    floor (5330.5)     		ty = 5330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3825 / 5330 ti = "15/3825/5330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3825/5330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3825 ÷ 215
    3825 ÷ 32768     		x = 0.116729736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5330 ÷ 215
    5330 ÷ 32768     		y = 0.16265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.76654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.40815809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16265869140625 × 2 - 1) × π
    0.6746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1195779536004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40815809} λ = -2.40815809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1195779536004))-π/2
    2×atan(8.32762210298637)-π/2
    2×1.4512862717166-π/2
    2.90257254343319-1.57079632675     		φ = 1.33177622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40815809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33177622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.305157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3825 KachelY 5330 -2.40815809 1.33177622 -137.977295 76.305157
    Oben rechts KachelX + 1 3826 KachelY 5330 -2.40796634 1.33177622 -137.966308 76.305157
    Unten links KachelX 3825 KachelY + 1 5331 -2.40815809 1.33173082 -137.977295 76.302555
    Unten rechts KachelX + 1 3826 KachelY + 1 5331 -2.40796634 1.33173082 -137.966308 76.302555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33177622-1.33173082) × R
    4.54000000000843e-05 × 6371000     		dl = 289.243400000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33177622-1.33173082) × R
    4.54000000000843e-05 × 6371000     		dr = 289.243400000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40815809--2.40796634) × cos(1.33177622) × R
    0.000191749999999935 × 0.236750704978122 × 6371000     		do = 289.223953666346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40815809--2.40796634) × cos(1.33173082) × R
    0.000191749999999935 × 0.236794814031714 × 6371000     		du = 289.277839017495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33177622)-sin(1.33173082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236750704978122-0.236794814031714)×R²
    abs(-2.40796634--2.40815809)×4.41090535921451e-05×R²
    0.000191749999999935×4.41090535921451e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.41090535921451e-05×40589641000000     		ar = 83663.9127255124m²