Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38249 / 29674
↖ ↑ ↗
← N 16.751948°
E 30.108032°		 ← 584.93 m → N 16.751948°
E 30.113526°		 →
↑
584.92 m
↓
↑
584.92 m
↓
N 16.746688°
E 30.108032°		 ← 584.94 m →
342 142 m²		 N 16.746688°
E 30.113526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583641052246094 y=0.452796936035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583641052246094 × 216)
    floor (0.583641052246094 × 65536)
    floor (38249.5)     		tx = 38249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452796936035156 × 216)
    floor (0.452796936035156 × 65536)
    floor (29674.5)     		ty = 29674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38249 / 29674 ti = "16/38249/29674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38249/29674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38249 ÷ 216
    38249 ÷ 65536     		x = 0.583633422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29674 ÷ 216
    29674 ÷ 65536     		y = 0.452789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583633422851562 × 2 - 1) × π
    0.167266845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52548429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452789306640625 × 2 - 1) × π
    0.09442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.296633534848907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52548429} λ = 0.52548429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296633534848907))-π/2
    2×atan(1.34532219539929)-π/2
    2×0.931586487084451-π/2
    1.8631729741689-1.57079632675     		φ = 0.29237665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52548429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.108032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29237665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.751948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38249 KachelY 29674 0.52548429 0.29237665 30.108032 16.751948
    Oben rechts KachelX + 1 38250 KachelY 29674 0.52558017 0.29237665 30.113526 16.751948
    Unten links KachelX 38249 KachelY + 1 29675 0.52548429 0.29228484 30.108032 16.746688
    Unten rechts KachelX + 1 38250 KachelY + 1 29675 0.52558017 0.29228484 30.113526 16.746688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29237665-0.29228484) × R
    9.18100000000255e-05 × 6371000     		dl = 584.921510000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29237665-0.29228484) × R
    9.18100000000255e-05 × 6371000     		dr = 584.921510000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52548429-0.52558017) × cos(0.29237665) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.957561561494363 × 6371000     		do = 584.927897030237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52548429-0.52558017) × cos(0.29228484) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.957588019747132 × 6371000     		du = 584.944059093098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29237665)-sin(0.29228484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957561561494363-0.957588019747132)×R²
    abs(0.52558017-0.52548429)×2.64582527682578e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.64582527682578e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.64582527682578e-05×40589641000000     		ar = 342141.635781557m²