Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38246 / 29591
↖ ↑ ↗
← N 17.188027°
E 30.091553°		 ← 583.57 m → N 17.188027°
E 30.097046°		 →
↑
583.52 m
↓
↑
583.52 m
↓
N 17.182779°
E 30.091553°		 ← 583.59 m →
340 530 m²		 N 17.182779°
E 30.097046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583595275878906 y=0.451530456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583595275878906 × 216)
    floor (0.583595275878906 × 65536)
    floor (38246.5)     		tx = 38246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451530456542969 × 216)
    floor (0.451530456542969 × 65536)
    floor (29591.5)     		ty = 29591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38246 / 29591 ti = "16/38246/29591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38246/29591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38246 ÷ 216
    38246 ÷ 65536     		x = 0.583587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29591 ÷ 216
    29591 ÷ 65536     		y = 0.451522827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583587646484375 × 2 - 1) × π
    0.16717529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52519667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451522827148438 × 2 - 1) × π
    0.096954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.304591060185837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52519667} λ = 0.52519667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304591060185837))-π/2
    2×atan(1.35607033844955)-π/2
    2×0.935391994674854-π/2
    1.87078398934971-1.57079632675     		φ = 0.29998766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52519667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.091553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29998766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.188027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38246 KachelY 29591 0.52519667 0.29998766 30.091553 17.188027
    Oben rechts KachelX + 1 38247 KachelY 29591 0.52529255 0.29998766 30.097046 17.188027
    Unten links KachelX 38246 KachelY + 1 29592 0.52519667 0.29989607 30.091553 17.182779
    Unten rechts KachelX + 1 38247 KachelY + 1 29592 0.52529255 0.29989607 30.097046 17.182779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29998766-0.29989607) × R
    9.15899999999747e-05 × 6371000     		dl = 583.519889999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29998766-0.29989607) × R
    9.15899999999747e-05 × 6371000     		dr = 583.519889999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52519667-0.52529255) × cos(0.29998766) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.955340135772219 × 6371000     		do = 583.570935839478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52519667-0.52529255) × cos(0.29989607) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.955367197381122 × 6371000     		du = 583.587466463328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29998766)-sin(0.29989607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955340135772219-0.955367197381122)×R²
    abs(0.52529255-0.52519667)×2.70616089029785e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.70616089029785e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.70616089029785e-05×40589641000000     		ar = 340530.071500121m²