Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38245 / 29590
↖ ↑ ↗
← N 17.193275°
E 30.086060°		 ← 583.49 m → N 17.193275°
E 30.091553°		 →
↑
583.52 m
↓
↑
583.52 m
↓
N 17.188027°
E 30.086060°		 ← 583.51 m →
340 485 m²		 N 17.188027°
E 30.091553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583580017089844 y=0.451515197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583580017089844 × 216)
    floor (0.583580017089844 × 65536)
    floor (38245.5)     		tx = 38245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451515197753906 × 216)
    floor (0.451515197753906 × 65536)
    floor (29590.5)     		ty = 29590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38245 / 29590 ti = "16/38245/29590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38245/29590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38245 ÷ 216
    38245 ÷ 65536     		x = 0.583572387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29590 ÷ 216
    29590 ÷ 65536     		y = 0.451507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583572387695312 × 2 - 1) × π
    0.167144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52510080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451507568359375 × 2 - 1) × π
    0.09698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.304686933985077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52510080} λ = 0.52510080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304686933985077))-π/2
    2×atan(1.35620035629748)-π/2
    2×0.935437790070216-π/2
    1.87087558014043-1.57079632675     		φ = 0.30007925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52510080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.086060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30007925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.193275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38245 KachelY 29590 0.52510080 0.30007925 30.086060 17.193275
    Oben rechts KachelX + 1 38246 KachelY 29590 0.52519667 0.30007925 30.091553 17.193275
    Unten links KachelX 38245 KachelY + 1 29591 0.52510080 0.29998766 30.086060 17.188027
    Unten rechts KachelX + 1 38246 KachelY + 1 29591 0.52519667 0.29998766 30.091553 17.188027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30007925-0.29998766) × R
    9.15900000000303e-05 × 6371000     		dl = 583.519890000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30007925-0.29998766) × R
    9.15900000000303e-05 × 6371000     		dr = 583.519890000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52510080-0.52519667) × cos(0.30007925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955313066149227 × 6371000     		do = 583.493537325136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52510080-0.52519667) × cos(0.29998766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955340135772219 × 6371000     		du = 583.510071119798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30007925)-sin(0.29998766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955313066149227-0.955340135772219)×R²
    abs(0.52519667-0.52510080)×2.70696229914824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70696229914824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70696229914824e-05×40589641000000     		ar = 340484.90885281m²