Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38244 / 29580
↖ ↑ ↗
← N 17.245744°
E 30.080566°		 ← 583.39 m → N 17.245744°
E 30.086060°		 →
↑
583.39 m
↓
↑
583.39 m
↓
N 17.240498°
E 30.080566°		 ← 583.41 m →
340 349 m²		 N 17.240498°
E 30.086060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583564758300781 y=0.451362609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583564758300781 × 216)
    floor (0.583564758300781 × 65536)
    floor (38244.5)     		tx = 38244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451362609863281 × 216)
    floor (0.451362609863281 × 65536)
    floor (29580.5)     		ty = 29580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38244 / 29580 ti = "16/38244/29580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38244/29580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38244 ÷ 216
    38244 ÷ 65536     		x = 0.58355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29580 ÷ 216
    29580 ÷ 65536     		y = 0.45135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58355712890625 × 2 - 1) × π
    0.1671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52500492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    0.0972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.305645671977478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52500492} λ = 0.52500492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305645671977478))-π/2
    2×atan(1.35750122059874)-π/2
    2×0.93589567258651-π/2
    1.87179134517302-1.57079632675     		φ = 0.30099502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52500492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.080566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30099502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.245744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38244 KachelY 29580 0.52500492 0.30099502 30.080566 17.245744
    Oben rechts KachelX + 1 38245 KachelY 29580 0.52510080 0.30099502 30.086060 17.245744
    Unten links KachelX 38244 KachelY + 1 29581 0.52500492 0.30090345 30.080566 17.240498
    Unten rechts KachelX + 1 38245 KachelY + 1 29581 0.52510080 0.30090345 30.086060 17.240498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30099502-0.30090345) × R
    9.15699999999853e-05 × 6371000     		dl = 583.392469999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30099502-0.30090345) × R
    9.15699999999853e-05 × 6371000     		dr = 583.392469999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52500492-0.52510080) × cos(0.30099502) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.955041967735619 × 6371000     		do = 583.388799453708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52500492-0.52510080) × cos(0.30090345) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.955069111547961 × 6371000     		du = 583.40538029165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30099502)-sin(0.30090345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955041967735619-0.955069111547961)×R²
    abs(0.52510080-0.52500492)×2.71438123423673e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.71438123423673e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.71438123423673e-05×40589641000000     		ar = 340349.469489579m²