Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38241 / 31008
↖ ↑ ↗
← N  9.622414°
E 30.064087°		 ← 602.26 m → N  9.622414°
E 30.069580°		 →
↑
602.25 m
↓
↑
602.25 m
↓
N  9.616998°
E 30.064087°		 ← 602.27 m →
362 713 m²		 N  9.616998°
E 30.069580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583518981933594 y=0.473152160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583518981933594 × 216)
    floor (0.583518981933594 × 65536)
    floor (38241.5)     		tx = 38241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473152160644531 × 216)
    floor (0.473152160644531 × 65536)
    floor (31008.5)     		ty = 31008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38241 / 31008 ti = "16/38241/31008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38241/31008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38241 ÷ 216
    38241 ÷ 65536     		x = 0.583511352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31008 ÷ 216
    31008 ÷ 65536     		y = 0.47314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583511352539062 × 2 - 1) × π
    0.167022705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52471730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47314453125 × 2 - 1) × π
    0.0537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.168737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52471730} λ = 0.52471730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.168737886662598))-π/2
    2×atan(1.18380980591546)-π/2
    2×0.869369567787324-π/2
    1.73873913557465-1.57079632675     		φ = 0.16794281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52471730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.064087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16794281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.622414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38241 KachelY 31008 0.52471730 0.16794281 30.064087 9.622414
    Oben rechts KachelX + 1 38242 KachelY 31008 0.52481318 0.16794281 30.069580 9.622414
    Unten links KachelX 38241 KachelY + 1 31009 0.52471730 0.16784828 30.064087 9.616998
    Unten rechts KachelX + 1 38242 KachelY + 1 31009 0.52481318 0.16784828 30.069580 9.616998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16794281-0.16784828) × R
    9.45300000000093e-05 × 6371000     		dl = 602.250630000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16794281-0.16784828) × R
    9.45300000000093e-05 × 6371000     		dr = 602.250630000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52471730-0.52481318) × cos(0.16794281) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.985930721388994 × 6371000     		do = 602.257240337539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52471730-0.52481318) × cos(0.16784828) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.985946518094727 × 6371000     		du = 602.266889778616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16794281)-sin(0.16784828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985930721388994-0.985946518094727)×R²
    abs(0.52481318-0.52471730)×1.57967057329289e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57967057329289e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57967057329289e-05×40589641000000     		ar = 362712.708376511m²