Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38241 / 29213
↖ ↑ ↗
← N 19.160735°
E 30.064087°		 ← 577.01 m → N 19.160735°
E 30.069580°		 →
↑
576.96 m
↓
↑
576.96 m
↓
N 19.155547°
E 30.064087°		 ← 577.03 m →
332 916 m²		 N 19.155547°
E 30.069580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583518981933594 y=0.445762634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583518981933594 × 216)
    floor (0.583518981933594 × 65536)
    floor (38241.5)     		tx = 38241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445762634277344 × 216)
    floor (0.445762634277344 × 65536)
    floor (29213.5)     		ty = 29213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38241 / 29213 ti = "16/38241/29213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38241/29213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38241 ÷ 216
    38241 ÷ 65536     		x = 0.583511352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29213 ÷ 216
    29213 ÷ 65536     		y = 0.445755004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583511352539062 × 2 - 1) × π
    0.167022705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52471730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445755004882812 × 2 - 1) × π
    0.108489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.340831356298599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52471730} λ = 0.52471730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340831356298599))-π/2
    2×atan(1.40611608824386)-π/2
    2×0.952607124043966-π/2
    1.90521424808793-1.57079632675     		φ = 0.33441792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52471730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.064087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33441792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.160735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38241 KachelY 29213 0.52471730 0.33441792 30.064087 19.160735
    Oben rechts KachelX + 1 38242 KachelY 29213 0.52481318 0.33441792 30.069580 19.160735
    Unten links KachelX 38241 KachelY + 1 29214 0.52471730 0.33432736 30.064087 19.155547
    Unten rechts KachelX + 1 38242 KachelY + 1 29214 0.52481318 0.33432736 30.069580 19.155547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33441792-0.33432736) × R
    9.05599999999618e-05 × 6371000     		dl = 576.957759999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33441792-0.33432736) × R
    9.05599999999618e-05 × 6371000     		dr = 576.957759999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52471730-0.52481318) × cos(0.33441792) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.944601519589048 × 6371000     		do = 577.01123625084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52471730-0.52481318) × cos(0.33432736) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.944631239263741 × 6371000     		du = 577.029390558112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33441792)-sin(0.33432736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944601519589048-0.944631239263741)×R²
    abs(0.52481318-0.52471730)×2.97196746935624e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97196746935624e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97196746935624e-05×40589641000000     		ar = 332916.347723821m²