Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3824 / 878
↖ ↑ ↗
← N 71.130988°
E156.093750°		 ← 3 160.64 m → N 71.130988°
E156.181641°		 →
↑
3 162.95 m
↓
↑
3 162.95 m
↓
N 71.102543°
E156.093750°		 ← 3 165.23 m →
10 004 194 m²		 N 71.102543°
E156.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9337158203125 y=0.2144775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9337158203125 × 212)
    floor (0.9337158203125 × 4096)
    floor (3824.5)     		tx = 3824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2144775390625 × 212)
    floor (0.2144775390625 × 4096)
    floor (878.5)     		ty = 878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3824 / 878 ti = "12/3824/878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3824/878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3824 ÷ 212
    3824 ÷ 4096     		x = 0.93359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 878 ÷ 212
    878 ÷ 4096     		y = 0.21435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93359375 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72434988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21435546875 × 2 - 1) × π
    0.5712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72434988} λ = 2.72434988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7947575217749))-π/2
    2×atan(6.01801530720597)-π/2
    2×1.40613313124947-π/2
    2.81226626249895-1.57079632675     		φ = 1.24146994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72434988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24146994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.130988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3824 KachelY 878 2.72434988 1.24146994 156.093750 71.130988
    Oben rechts KachelX + 1 3825 KachelY 878 2.72588386 1.24146994 156.181641 71.130988
    Unten links KachelX 3824 KachelY + 1 879 2.72434988 1.24097348 156.093750 71.102543
    Unten rechts KachelX + 1 3825 KachelY + 1 879 2.72588386 1.24097348 156.181641 71.102543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24146994-1.24097348) × R
    0.000496459999999921 × 6371000     		dl = 3162.9466599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24146994-1.24097348) × R
    0.000496459999999921 × 6371000     		dr = 3162.9466599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72434988-2.72588386) × cos(1.24146994) × R
    0.00153398000000005 × 0.323405688309846 × 6371000     		do = 3160.63945174788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72434988-2.72588386) × cos(1.24097348) × R
    0.00153398000000005 × 0.323875428877662 × 6371000     		du = 3165.23022001323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24146994)-sin(1.24097348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323405688309846-0.323875428877662)×R²
    abs(2.72588386-2.72434988)×0.00046974056781679×R²
    0.00153398000000005×0.00046974056781679×6371000²
    0.00153398000000005×0.00046974056781679×40589641000000     		ar = 10004194.3804228m²