Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3824 / 5329
↖ ↑ ↗
← N 76.307757°
W137.988281°		 ← 289.17 m → N 76.307757°
W137.977295°		 →
↑
289.18 m
↓
↑
289.18 m
↓
N 76.305157°
W137.988281°		 ← 289.22 m →
83 630 m²		 N 76.305157°
W137.977295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116714477539062 y=0.162643432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116714477539062 × 215)
    floor (0.116714477539062 × 32768)
    floor (3824.5)     		tx = 3824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162643432617188 × 215)
    floor (0.162643432617188 × 32768)
    floor (5329.5)     		ty = 5329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3824 / 5329 ti = "15/3824/5329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3824/5329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3824 ÷ 215
    3824 ÷ 32768     		x = 0.11669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5329 ÷ 215
    5329 ÷ 32768     		y = 0.162628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11669921875 × 2 - 1) × π
    -0.7666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.40834984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162628173828125 × 2 - 1) × π
    0.67474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11976970119888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40834984} λ = -2.40834984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11976970119888))-π/2
    2×atan(8.32921905762689)-π/2
    2×1.4513089677923-π/2
    2.90261793558459-1.57079632675     		φ = 1.33182161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40834984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33182161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.307757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3824 KachelY 5329 -2.40834984 1.33182161 -137.988281 76.307757
    Oben rechts KachelX + 1 3825 KachelY 5329 -2.40815809 1.33182161 -137.977295 76.307757
    Unten links KachelX 3824 KachelY + 1 5330 -2.40834984 1.33177622 -137.988281 76.305157
    Unten rechts KachelX + 1 3825 KachelY + 1 5330 -2.40815809 1.33177622 -137.977295 76.305157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33182161-1.33177622) × R
    4.5389999999923e-05 × 6371000     		dl = 289.179689999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33182161-1.33177622) × R
    4.5389999999923e-05 × 6371000     		dr = 289.179689999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40834984--2.40815809) × cos(1.33182161) × R
    0.000191749999999935 × 0.236706605152361 × 6371000     		do = 289.170079588278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40834984--2.40815809) × cos(1.33177622) × R
    0.000191749999999935 × 0.236750704978122 × 6371000     		du = 289.223953666346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33182161)-sin(1.33177622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236706605152361-0.236750704978122)×R²
    abs(-2.40815809--2.40834984)×4.40998257612846e-05×R²
    0.000191749999999935×4.40998257612846e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.40998257612846e-05×40589641000000     		ar = 83629.9036318024m²