Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38238 / 29278
↖ ↑ ↗
← N 18.823117°
E 30.047607°		 ← 578.18 m → N 18.823117°
E 30.053101°		 →
↑
578.17 m
↓
↑
578.17 m
↓
N 18.817918°
E 30.047607°		 ← 578.20 m →
334 292 m²		 N 18.817918°
E 30.053101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583473205566406 y=0.446754455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583473205566406 × 216)
    floor (0.583473205566406 × 65536)
    floor (38238.5)     		tx = 38238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446754455566406 × 216)
    floor (0.446754455566406 × 65536)
    floor (29278.5)     		ty = 29278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38238 / 29278 ti = "16/38238/29278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38238/29278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38238 ÷ 216
    38238 ÷ 65536     		x = 0.583465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29278 ÷ 216
    29278 ÷ 65536     		y = 0.446746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583465576171875 × 2 - 1) × π
    0.16693115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52442968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446746826171875 × 2 - 1) × π
    0.10650634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.334599559347992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52442968} λ = 0.52442968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334599559347992))-π/2
    2×atan(1.39738070512995)-π/2
    2×0.949660846508985-π/2
    1.89932169301797-1.57079632675     		φ = 0.32852537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52442968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.047607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32852537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.823117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38238 KachelY 29278 0.52442968 0.32852537 30.047607 18.823117
    Oben rechts KachelX + 1 38239 KachelY 29278 0.52452556 0.32852537 30.053101 18.823117
    Unten links KachelX 38238 KachelY + 1 29279 0.52442968 0.32843462 30.047607 18.817918
    Unten rechts KachelX + 1 38239 KachelY + 1 29279 0.52452556 0.32843462 30.053101 18.817918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32852537-0.32843462) × R
    9.07499999999728e-05 × 6371000     		dl = 578.168249999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32852537-0.32843462) × R
    9.07499999999728e-05 × 6371000     		dr = 578.168249999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52442968-0.52452556) × cos(0.32852537) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.946519158325905 × 6371000     		do = 578.182628711354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52442968-0.52452556) × cos(0.32843462) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.946548434699291 × 6371000     		du = 578.200512227366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32852537)-sin(0.32843462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946519158325905-0.946548434699291)×R²
    abs(0.52452556-0.52442968)×2.92763733859003e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.92763733859003e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.92763733859003e-05×40589641000000     		ar = 334292.008692411m²