Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38237 / 29246
↖ ↑ ↗
← N 18.989415°
E 30.042114°		 ← 577.55 m → N 18.989415°
E 30.047607°		 →
↑
577.59 m
↓
↑
577.59 m
↓
N 18.984220°
E 30.042114°		 ← 577.57 m →
333 594 m²		 N 18.984220°
E 30.047607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583457946777344 y=0.446266174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583457946777344 × 216)
    floor (0.583457946777344 × 65536)
    floor (38237.5)     		tx = 38237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446266174316406 × 216)
    floor (0.446266174316406 × 65536)
    floor (29246.5)     		ty = 29246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38237 / 29246 ti = "16/38237/29246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38237/29246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38237 ÷ 216
    38237 ÷ 65536     		x = 0.583450317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29246 ÷ 216
    29246 ÷ 65536     		y = 0.446258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583450317382812 × 2 - 1) × π
    0.166900634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52433381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446258544921875 × 2 - 1) × π
    0.10748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.337667520923676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52433381} λ = 0.52433381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337667520923676))-π/2
    2×atan(1.40167439851523)-π/2
    2×0.951112068296679-π/2
    1.90222413659336-1.57079632675     		φ = 0.33142781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52433381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.042114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33142781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.989415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38237 KachelY 29246 0.52433381 0.33142781 30.042114 18.989415
    Oben rechts KachelX + 1 38238 KachelY 29246 0.52442968 0.33142781 30.047607 18.989415
    Unten links KachelX 38237 KachelY + 1 29247 0.52433381 0.33133715 30.042114 18.984220
    Unten rechts KachelX + 1 38238 KachelY + 1 29247 0.52442968 0.33133715 30.047607 18.984220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33142781-0.33133715) × R
    9.06599999999647e-05 × 6371000     		dl = 577.594859999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33142781-0.33133715) × R
    9.06599999999647e-05 × 6371000     		dr = 577.594859999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52433381-0.52442968) × cos(0.33142781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94557870748884 × 6371000     		do = 577.547910106578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52433381-0.52442968) × cos(0.33133715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945608203774492 × 6371000     		du = 577.565926077115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33142781)-sin(0.33133715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94557870748884-0.945608203774492)×R²
    abs(0.52442968-0.52433381)×2.94962856518532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94962856518532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94962856518532e-05×40589641000000     		ar = 333593.907475721m²