Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38236 / 29280
↖ ↑ ↗
← N 18.812718°
E 30.036621°		 ← 578.22 m → N 18.812718°
E 30.042114°		 →
↑
578.23 m
↓
↑
578.23 m
↓
N 18.807518°
E 30.036621°		 ← 578.24 m →
334 350 m²		 N 18.807518°
E 30.042114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583442687988281 y=0.446784973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583442687988281 × 216)
    floor (0.583442687988281 × 65536)
    floor (38236.5)     		tx = 38236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446784973144531 × 216)
    floor (0.446784973144531 × 65536)
    floor (29280.5)     		ty = 29280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38236 / 29280 ti = "16/38236/29280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38236/29280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38236 ÷ 216
    38236 ÷ 65536     		x = 0.58343505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29280 ÷ 216
    29280 ÷ 65536     		y = 0.44677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58343505859375 × 2 - 1) × π
    0.1668701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52423793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    0.1064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.334407811749512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52423793} λ = 0.52423793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334407811749512))-π/2
    2×atan(1.39711278642278)-π/2
    2×0.949570097314447-π/2
    1.89914019462889-1.57079632675     		φ = 0.32834387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52423793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.036621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32834387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.812718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38236 KachelY 29280 0.52423793 0.32834387 30.036621 18.812718
    Oben rechts KachelX + 1 38237 KachelY 29280 0.52433381 0.32834387 30.042114 18.812718
    Unten links KachelX 38236 KachelY + 1 29281 0.52423793 0.32825311 30.036621 18.807518
    Unten rechts KachelX + 1 38237 KachelY + 1 29281 0.52433381 0.32825311 30.042114 18.807518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32834387-0.32825311) × R
    9.07599999999675e-05 × 6371000     		dl = 578.231959999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32834387-0.32825311) × R
    9.07599999999675e-05 × 6371000     		dr = 578.231959999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52423793-0.52433381) × cos(0.32834387) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.946577703277318 × 6371000     		do = 578.218390982241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52423793-0.52433381) × cos(0.32825311) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.946606967283644 × 6371000     		du = 578.236266943816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32834387)-sin(0.32825311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946577703277318-0.946606967283644)×R²
    abs(0.52433381-0.52423793)×2.92640063263017e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.92640063263017e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.92640063263017e-05×40589641000000     		ar = 334349.521981156m²