Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38232 / 29576
↖ ↑ ↗
← N 17.266728°
E 30.014648°		 ← 583.26 m → N 17.266728°
E 30.020141°		 →
↑
583.27 m
↓
↑
583.27 m
↓
N 17.261482°
E 30.014648°		 ← 583.28 m →
340 201 m²		 N 17.261482°
E 30.020141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583381652832031 y=0.451301574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583381652832031 × 216)
    floor (0.583381652832031 × 65536)
    floor (38232.5)     		tx = 38232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451301574707031 × 216)
    floor (0.451301574707031 × 65536)
    floor (29576.5)     		ty = 29576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38232 / 29576 ti = "16/38232/29576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38232/29576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38232 ÷ 216
    38232 ÷ 65536     		x = 0.5833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29576 ÷ 216
    29576 ÷ 65536     		y = 0.4512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5833740234375 × 2 - 1) × π
    0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    0.097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.306029167174438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52385444} λ = 0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306029167174438))-π/2
    2×atan(1.35802191563235)-π/2
    2×0.936078789176346-π/2
    1.87215757835269-1.57079632675     		φ = 0.30136125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30136125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.266728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38232 KachelY 29576 0.52385444 0.30136125 30.014648 17.266728
    Oben rechts KachelX + 1 38233 KachelY 29576 0.52395031 0.30136125 30.020141 17.266728
    Unten links KachelX 38232 KachelY + 1 29577 0.52385444 0.30126970 30.014648 17.261482
    Unten rechts KachelX + 1 38233 KachelY + 1 29577 0.52395031 0.30126970 30.020141 17.261482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30136125-0.30126970) × R
    9.15500000000513e-05 × 6371000     		dl = 583.265050000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30136125-0.30126970) × R
    9.15500000000513e-05 × 6371000     		dr = 583.265050000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52385444-0.52395031) × cos(0.30136125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954933327248658 × 6371000     		do = 583.261597448875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52385444-0.52395031) × cos(0.30126970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954960497152958 × 6371000     		du = 583.278192494134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30136125)-sin(0.30126970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954933327248658-0.954960497152958)×R²
    abs(0.52395031-0.52385444)×2.71699043004059e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71699043004059e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71699043004059e-05×40589641000000     		ar = 340200.944691903m²