Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38232 / 29560
↖ ↑ ↗
← N 17.350639°
E 30.014648°		 ← 583 m → N 17.350639°
E 30.020141°		 →
↑
583.07 m
↓
↑
583.07 m
↓
N 17.345395°
E 30.014648°		 ← 583.01 m →
339 934 m²		 N 17.345395°
E 30.020141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583381652832031 y=0.451057434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583381652832031 × 216)
    floor (0.583381652832031 × 65536)
    floor (38232.5)     		tx = 38232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451057434082031 × 216)
    floor (0.451057434082031 × 65536)
    floor (29560.5)     		ty = 29560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38232 / 29560 ti = "16/38232/29560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38232/29560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38232 ÷ 216
    38232 ÷ 65536     		x = 0.5833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29560 ÷ 216
    29560 ÷ 65536     		y = 0.4510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5833740234375 × 2 - 1) × π
    0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    0.097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.30756314796228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52385444} λ = 0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.30756314796228))-π/2
    2×atan(1.36010669375639)-π/2
    2×0.93681104688572-π/2
    1.87362209377144-1.57079632675     		φ = 0.30282577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30282577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.350639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38232 KachelY 29560 0.52385444 0.30282577 30.014648 17.350639
    Oben rechts KachelX + 1 38233 KachelY 29560 0.52395031 0.30282577 30.020141 17.350639
    Unten links KachelX 38232 KachelY + 1 29561 0.52385444 0.30273425 30.014648 17.345395
    Unten rechts KachelX + 1 38233 KachelY + 1 29561 0.52395031 0.30273425 30.020141 17.345395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30282577-0.30273425) × R
    9.15200000000116e-05 × 6371000     		dl = 583.073920000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30282577-0.30273425) × R
    9.15200000000116e-05 × 6371000     		dr = 583.073920000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52385444-0.52395031) × cos(0.30282577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954497603935591 × 6371000     		do = 582.99546297815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52385444-0.52395031) × cos(0.30273425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954524892903004 × 6371000     		du = 583.012130745702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30282577)-sin(0.30273425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954497603935591-0.954524892903004)×R²
    abs(0.52395031-0.52385444)×2.72889674129972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72889674129972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72889674129972e-05×40589641000000     		ar = 339934.309448309m²