Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38231 / 29671
↖ ↑ ↗
← N 16.767727°
E 30.009156°		 ← 584.82 m → N 16.767727°
E 30.014648°		 →
↑
584.86 m
↓
↑
584.86 m
↓
N 16.762468°
E 30.009156°		 ← 584.83 m →
342 040 m²		 N 16.762468°
E 30.014648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583366394042969 y=0.452751159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583366394042969 × 216)
    floor (0.583366394042969 × 65536)
    floor (38231.5)     		tx = 38231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452751159667969 × 216)
    floor (0.452751159667969 × 65536)
    floor (29671.5)     		ty = 29671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38231 / 29671 ti = "16/38231/29671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38231/29671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38231 ÷ 216
    38231 ÷ 65536     		x = 0.583358764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29671 ÷ 216
    29671 ÷ 65536     		y = 0.452743530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583358764648438 × 2 - 1) × π
    0.166717529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52375857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452743530273438 × 2 - 1) × π
    0.094512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.296921156246628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52375857} λ = 0.52375857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296921156246628))-π/2
    2×atan(1.34570919450145)-π/2
    2×0.931724188972303-π/2
    1.86344837794461-1.57079632675     		φ = 0.29265205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52375857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.009156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29265205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.767727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38231 KachelY 29671 0.52375857 0.29265205 30.009156 16.767727
    Oben rechts KachelX + 1 38232 KachelY 29671 0.52385444 0.29265205 30.014648 16.767727
    Unten links KachelX 38231 KachelY + 1 29672 0.52375857 0.29256025 30.009156 16.762468
    Unten rechts KachelX + 1 38232 KachelY + 1 29672 0.52385444 0.29256025 30.014648 16.762468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29265205-0.29256025) × R
    9.17999999999752e-05 × 6371000     		dl = 584.857799999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29265205-0.29256025) × R
    9.17999999999752e-05 × 6371000     		dr = 584.857799999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52375857-0.52385444) × cos(0.29265205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957482146963572 × 6371000     		do = 584.81838535868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52375857-0.52385444) × cos(0.29256025) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957508626543065 × 6371000     		du = 584.834558761989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29265205)-sin(0.29256025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957482146963572-0.957508626543065)×R²
    abs(0.52385444-0.52375857)×2.64795794931993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64795794931993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64795794931993e-05×40589641000000     		ar = 342040.324071136m²