Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3823 / 5327
↖ ↑ ↗
← N 76.312957°
W137.999267°		 ← 289.05 m → N 76.312957°
W137.988281°		 →
↑
289.12 m
↓
↑
289.12 m
↓
N 76.310357°
W137.999267°		 ← 289.10 m →
83 576 m²		 N 76.310357°
W137.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116683959960938 y=0.162582397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116683959960938 × 215)
    floor (0.116683959960938 × 32768)
    floor (3823.5)     		tx = 3823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162582397460938 × 215)
    floor (0.162582397460938 × 32768)
    floor (5327.5)     		ty = 5327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3823 / 5327 ti = "15/3823/5327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3823/5327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3823 ÷ 215
    3823 ÷ 32768     		x = 0.116668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5327 ÷ 215
    5327 ÷ 32768     		y = 0.162567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.76666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.40854158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162567138671875 × 2 - 1) × π
    0.67486572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12015319639584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40854158} λ = -2.40854158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12015319639584))-π/2
    2×atan(8.33241388569138)-π/2
    2×1.4513543472609-π/2
    2.90270869452179-1.57079632675     		φ = 1.33191237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40854158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.999267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33191237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.312957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3823 KachelY 5327 -2.40854158 1.33191237 -137.999267 76.312957
    Oben rechts KachelX + 1 3824 KachelY 5327 -2.40834984 1.33191237 -137.988281 76.312957
    Unten links KachelX 3823 KachelY + 1 5328 -2.40854158 1.33186699 -137.999267 76.310357
    Unten rechts KachelX + 1 3824 KachelY + 1 5328 -2.40834984 1.33186699 -137.988281 76.310357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33191237-1.33186699) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dl = 289.115979999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33191237-1.33186699) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dr = 289.115979999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40854158--2.40834984) × cos(1.33191237) × R
    0.000191739999999996 × 0.236618423469956 × 6371000     		do = 289.047278424254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40854158--2.40834984) × cos(1.33186699) × R
    0.000191739999999996 × 0.236662514554843 × 6371000     		du = 289.101139015084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33191237)-sin(1.33186699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236618423469956-0.236662514554843)×R²
    abs(-2.40834984--2.40854158)×4.40910848870657e-05×R²
    0.000191739999999996×4.40910848870657e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.40910848870657e-05×40589641000000     		ar = 83575.9731603797m²